polarbearhmh

在傳統賭博遊戲「魚蝦蟹」中，玩家可以自由下注魚、蝦、蟹、金錢、葫蘆及雞，分別為骰子的六面。此遊戲會同時使用三個骰子。假設小明下注一元至「魚」，而三個骰子均沒有擲出「魚」，則小明的一元會被沒收；若三個骰子中有 N 個骰子擲出「魚」，則 A 會收回 N+1 元（當然 N 只可以是 1、2或3）。

已知每次 n 元的下注，此賭博的期望值為 199n/216 元。

1) 若這個遊戲使用四個與上述一樣的骰子，其他規則不變（N 可以是 1、2、3 或 4），假設小明分別下注一元至「蝦」及「蟹」，求這項投注的期望值。

2) 假設骰子新增六面「鴨」、「鵝」、「牛」、「豬」、「蚌」及「紙幣」成為一十二面骰子。在玩這個遊戲（全部使用十二面骰子）時，若要每次 n 元的下注，其期望值最接近 n 元，那麼骰子的數目 N 為何？

1. 已知 14²⁰¹⁵ - 5²⁰¹⁵ 能被 3ⁿ 整除，求 n 的最大值。

2. 已知 (135⁶⁸⁹+1)(18⁹⁸⁶－1) + 1 能被 3ⁿ 整除，求 n 的最大值。

三個實數滿足以下條件：

a + b + c > 1

ab + bc + ac > 2

abc > 3

證明 a > 0、b > 0 及 c > 0。

1. 求所有能使得 2ⁿ + 2⁸ 為完全平方數的自然數。

2. 求所有使得 n² + 5n + 14 為完全平方數的自然數 n。

Two real roots of the equation 17 - n² = eⁿ are denoted by α and β.

a) Show that the equation has exactly two real roots.

b) Find, by calculations, the pair of consecutive integers between which α+β lies.

A real root of the equation 17 - x² = 6 ln x is denoted by α.

a) Show that the equation has exactly one real root.

b) Find, by calculations, the pair of consecutive integers between which α lies.

一個數與其倒數之和等於該數之平方，

(a) 若此數為實數 k，求 k 的值。

(b) 若此數為複數 a+bi 而 b ≠ 0，求 a 及 b 的值。

已知一個三位正整數 k，已知 4k³ - 4k² + 5k - 10 ≡ 3k² + k - 7 (mod 17)，k 除 11 餘 1，除 12 的餘數為 m (0 ≤ m ≤ 11)。已知 m 為質數，求 k 的值。

請看：

http://i.imgur.com/nsk4brn.jpg

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文字版：

It is given that α and β are the two distinct roots of the quadratic equation x² + kx + k = 0, where k is a constant.

Express 1/(α^n) + 1/(β^n) in terms of k and n.

設 P = (3 ‒ √3)ⁿ 而 n 為整數。若 P > 10⁹，求 n 的最小值。

已知方程 (6x² - x - 2)⁴ = (x³)(3x² - 1) 剛好有四個實數解 a, b, c, d，求它們的積 abcd 的值。

已知 xy + 1/x + 1/y = 5 及 x²y² + 1/x² + 1/y² = 13。

求 x³y³ + 1/x³ + 1/y³ 的值。

隨機抽一個正整數 N，問 (7^N - 11^N + 13^N) 的十位數及個位數分別為 8 及 9 的概率為何？

求 22^(33^(44^55)) 除以 120 的餘數。

已知正整數 a, b, c, x, y 及 z 滿足以下方程：

a + b + c = x

ab + ac + ab = y

abc = z

x + y + z = 6967

求 x 的最小值。

使用 3、4、5、6、7 五個數字（不需要全部使用）及加、減、乘、除，我們可以得出很多不同的數值。

例如：

4 - 3 = 1

5 - 3 = 2

。。。

5 × 4 = 20

3 × 4 × 5 × 6 - 7 = 353 等等

已知 N 為一正整數使得使用以上五個數字及四則運算並不能得出 N 這個數值，求 N 的最少值。