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數學：簡單不等式證明題
三個實數滿足以下條件：
a + b + c > 1
ab + bc + ac > 2
abc > 3
證明 a > 0、b > 0 及 c > 0。
2 個解答
評分
- ☂雨後晴空☀Lv 76 年前最愛解答
a , b , c 為 x³ - (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x - abc = 0 之三實根。
由 abc > 3 知 a ≠ 0、 b ≠ 0 、 c ≠ 0 , 且至少有一根為正, 不妨設 a > 0 ,
則 b > 0 、 c > 0 或 b < 0 、 c < 0。
若 b < 0 、 c < 0 ,
則由 b³ - (a + b + c)b² + (ab + bc + ca)b - abc = 0
得 b³ + (ab + bc + ca)b = (a + b + c)b² + abc
等式左方 b³ < 0 且 (ab + bc + ca) > 2 及 b < 0 ⇒(ab + bc + ca)b < 0
故左方 < 0 ;
等式右方 (a + b + c) > 1 及 b² > 0 ⇒ (a + b + c)b² > 0 且 abc > 3
故右方 > 3 , 矛盾!
故必有 a > 0、b > 0 及 c > 0。
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