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數學：魚蝦蟹
在傳統賭博遊戲「魚蝦蟹」中，玩家可以自由下注魚、蝦、蟹、金錢、葫蘆及雞，分別為骰子的六面。此遊戲會同時使用三個骰子。假設小明下注一元至「魚」，而三個骰子均沒有擲出「魚」，則小明的一元會被沒收；若三個骰子中有 N 個骰子擲出「魚」，則 A 會收回 N+1 元（當然 N 只可以是 1、2或3）。
已知每次 n 元的下注，此賭博的期望值為 199n/216 元。
1) 若這個遊戲使用四個與上述一樣的骰子，其他規則不變（N 可以是 1、2、3 或 4），假設小明分別下注一元至「蝦」及「蟹」，求這項投注的期望值。
2) 假設骰子新增六面「鴨」、「鵝」、「牛」、「豬」、「蚌」及「紙幣」成為一十二面骰子。在玩這個遊戲（全部使用十二面骰子）時，若要每次 n 元的下注，其期望值最接近 n 元，那麼骰子的數目 N 為何？
2 個解答
- TonyLv 46 年前最愛解答
首先, 已知每次 n 元的下注，此賭博的期望值為 199n/216 元 是怎樣出來的呢?
此賭博的期望值 = n( (2)(3)(1/6)(5/6)^2 + (3)(3)(1/6)^2(5/6) + (4)(1/6)^3 )
= 199n/216
ps. (3)(1/6)(5/6)^2 是買中一個骰子, 而前面的2是買中1個骰子賠2
1) 項投注的期望值 = n( (2)(4)(1/6)(5/6)^3 + (3)(6)(1/6)^2(5/6)^2
+ (4)(4)(1/6)^3(5/6) + 5(1/6)^4 ) = 1535n/1296 = 1.184n > n
這代表長遠買是有賺的, 所以不會有人用4個骰子玩魚蝦蟹
2) 這個比較麻煩
n( (2)(NC1)(1/12)(11/12)^(N-1) + (3)(NC2)(1/12)^2(11/12)^(N-2)
+ (4)(NC3)(1/12)^3(11/12)^(N-3) + ... + (N+1)(1/12)^N ) = n
即是 由i=1至i=N (i+1)(NCi)(1/12)^i(11/12)^(N-i) 的總和 = 1
為了簡化, 用首4個項的總和來代替
由i=1至i=N (i+1)(NCi)(1/12)^i(11/12)^(N-i) 的總和, 因為其他的總和沒有太大影響
(2)(NC1)(1/12)(11/12)^(N-1) + (3)(NC2)(1/12)^2(11/12)^(N-2)
+ (4)(NC3)(1/12)^3(11/12)^(N-3) + (5)(NC4)(1/12)^4(11/12)^(N-4) = 1
其實這個也很難算, 1元4次方程, 最後我自己寫程式用程式計,
N=7
2015-07-17 15:11:56 補充：
其實(2)的答案, 你也可以推算到,
從擲3粒(6/2) 6面的普通骰子, 已知每次 n 元的下注，此賭博的期望值為 199n/216 元。
這個期望值接近n元
而擲4粒(6/2+1) 6面的普通骰子, 已知每次 n 元的下注，此賭博的期望值為 1.184n 元。
這個期望值也接近n元
所以估算擲12面骰子的期望值要n元, 不然是12/2=6或12/2+1=7了
2015-07-17 15:32:25 補充：
(2)
N=6, 期望值=0.906708n 元
N=7, 期望值=1.03948n 元
我是用C++寫程式計的, 程式在意見欄
2015-07-17 15:37:34 補充：
因為有些東西打不出來, 如果以上連結逾期, 如果又想看, 請在意見欄裡留言
2015-07-21 11:33:55 補充：
我沒有看清楚題目, 抱歉! 假設小明分別下注一元至「蝦」及「蟹」，求這項投注的期望值。 1)的答案要*2!
1535n/1296 * 2 = 1535n/648元
2015-07-21 11:47:43 補充：
polarbearhmh,
為什麼你要問這題? 我感覺到你會解這題啊?
資料來源： myself
