數學求餘數 (1)

考慮 2^33^44⁵⁵, 注意由 2³ 開始每隔四次方出現循環:

2³ ≡ 8 (mod 120) , 2⁴ ≡ 16 (mod 120) , 2⁵ ≡ 32 (mod 120) , 2⁶ ≡ 64 (mod 120) ,

2⁷≡ 8 (mod 120) , ....

而 33^44⁵⁵ ≡ (4×7 + 1)^44⁵⁵ ≡ 1 (mod 4) , 令 33^44⁵⁵ = 4n + 1 ,

則 2^33^44⁵⁵ ≡ 2⁴ⁿ⁺¹ ≡ 32 (mod 120)。另一方面, 11² ≡ 1 (mod 120) , 令 33^44⁵⁵ = 2k + 1 ,

則 11^33^44⁵⁵ ≡ 11²ᵏ⁺¹ ≡ 11(11²)ᵏ ≡ 11(1)ᵏ ≡ 11 (mod 120)。

從而 22^33^44⁵⁵ ≡ 2^33^44⁵⁵ × 11^33^44⁵⁵ ≡ 32 × 11 ≡ 112 (mod 120)。答 : 2^33^44⁵⁵ 除以 120 的餘數是 112 。

2015-05-13 20:04:20 補充：

看到 22 , 不知何解就有把它拆成 2 × 11 的衝動......