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請用積分證明阿基米德浮力原理,

即浮力=排開液體的重量

有一圓錐體,高無限長(夠長的),中心軸與一側邊夾α度角,

今有一平面E,法向量與圓錐中心軸夾角為β度(α+β<90)

且與圓錐中心截點至頂點為L,則

(1)截面橢圓的長軸,短軸,焦距(2a, 2b, 2c)為何?

(2)截面與圓錐所圍立體(含圓錐頂點)的體積=?

設a, b, c為 x^3=x^2+x+1之三根,試求行列式

| 1 1 1 |

| a b c |

| A B C |

之絕對值=? (其中A=a^2, B=b^2, C=c^2)

設質點由(-1,0) (單位m)沿光滑下半圓x^2+y^2=1, y<=0,依重力(g=9.8 m/s^2)

牽引滑動至(1,0)再回至(-1,0), (無摩擦,無空氣阻力),試求來回一次的時間=?

(以Gamma function表示)

若數列{ a(n) }滿足 lim(n->∞)[ a(n+1)-a(n) ] =A,

試證 lim(n->∞) a(n)/n = A

(Note: 好勁的性質!)

1. 給定3D空間中x^4+y^4+z^4 <= 1(其中x,y,z均為正數)所圍區域,求體積=?

2. (推廣)求n-dim空間中x1^k+x2^k+...+xn^k <=1所圍區域的"體積"

(其中x1~xn均非負數,k為正數, n為正整數)

1. Find the volume of the region x^3+y^3+z^3 <= a^3 where 0<= x, y, z <= a

2. Find the "volume"(in terms of a,k,n) of x1^k+x2^k+...+xn^k <= a^k where 0<= x1~xn <=a,

n in N and k is a positive constant.

已知0<a(1)<1, a(n+1)=arctan[a(n)], n>0, 則 lim(n->∞) (√n * a(n) )=?

已知0<a(1)<1, a(n+1)=sin[a(n)], n>0, 則 lim(n->∞) (√n *a(n))=?

今有n個相異球(編號1,2~n)

1. 任意分至3個相同箱子(無箱別,可空箱),問有幾種分法?

2. 任意分至4個相同箱子(無箱別,可空箱),問有幾種分法? (求所滿足數學式)

方程式編輯器(Equation或Mathtype)所編輯的數學式,

可否直接或較方便的方法轉為影像檔(jpg or gif 等)?

1. xy平面上橢圓 (x/a)^2+(y/b)^2=1,問最大外切矩形,面積=?

2. 空間中橢圓球 (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1, 問最大外切長方體,體積=?

1. 求 sin(x^2)/x^2的積分,積分範圍為所有實數(R)

Note: 不是 (sinx /x)^2的積分

2. 求 sin(mx)/(x^2+x+1)的積分,積分範圍為R

1. 求 sin(x^2)/x^2的積分,積分範圍為所有實數(R)

2. 求 cos(mx)/(x^2+x+1)的積分,積分範圍為R