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求limit值(2)
已知0<a(1)<1, a(n+1)=arctan[a(n)], n>0, 則 lim(n->∞) (√n * a(n) )=?
Ans: √(3/2)
4 個解答
- mathmanliuLv 71 十年前最愛解答
性質: lim(n->∞)[a(n+1)-a(n)]=A, 則lim(n->∞) a(n)/n=A
利用以上性質比較簡單!
2010-02-20 22:32:34 補充：
1. 顯然 a(n)遞減至0 (至少n夠大時如此)
2. 設b(n)= 1/[a(n)]^2, 則
lim(n->∞) [b(n+1)-b(n)]
=lim(n->∞)[ 1/arctan^2(a(n)) - 1/a(n)^2]
(代換x=arctan(a(n)) 得 lim(x->0) (1/x^2 - 1/tan^2(x))
= lim(x->0)[ (tanx +x)(tanx - x)/(xtanx)^2]
= 2/3 (以Taylor's expansion計算,請自行計算, OK!?)
3. 由意見所述性質知 lim(n->∞) b(n)/n = 2/3
則 lim(n->∞) n*[a(n)]^2 = 3/2
故原題limit =√(3/2)
- ?Lv 71 十年前
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圖片參考：http://img163.imageshack.us/img163/1293/79790581.p...
2010-02-09 20:00:24 補充：
