求圓擺週期

Question

設質點由(-1,0) (單位m)沿光滑下半圓x^2+y^2=1, y<=0,依重力(g=9.8 m/s^2)
牽引滑動至(1,0)再回至(-1,0), (無摩擦,無空氣阻力),試求來回一次的時間=?
(以Gamma function表示)

YO · Accepted Answer

√(2R/g)  *  Γ(1/4)Γ(1/2) / Γ(3/4)  ?

2010-03-07 13:14:35 補充：
2倍已經算入了阿

2010-03-21 03:02:35 補充：
 
圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AF03162277/o/151003061170413872242280.jpg
 
另外，這是在非相對論性速率下的答案

2010-03-21 03:04:51 補充：
(奇怪，我自己也看不到= =)

若看不到圖請連http://f23.yahoofs.com/myper/7DRtevORGAc9NUO81e13/blog/F23_20100321030320176.jpg?TTAMrpLBdOux1ZUG

或http://tw.myblog.yahoo.com/jw!7DRtevORGAc9NUO81e13/photo?pid=38

2010-03-21 03:10:55 補充：
忘了刪掉  √(2/g)已經變成0.4了

2010-03-21 03:13:14 補充：
最後面的近似答案有筆誤，沒有√(2/g) !

2010-03-21 17:58:30 補充：
其實doraemonpaul犯了一個物理上的錯誤

假設一個由細線繫著的擺垂

細線之張力為T(指向圓心為正)，那麼重力在法線方向的分量即為 -mgsinθ

然而擺垂作圓周運動，這告訴我們必有向心力 W的存在，但是W從何來呢?

因此W = T - mgsinθ ≠ 0。

回到牛頓力學的分析上，擺錘實際上受到兩個力，張力與重力

在切線方向上的大小就是mgcosθ，而法線上為T - mgsinθ ≠ 0

換言之，如果要把上面的兩個力轉成x、y分量作分析，

doraemonpaul忽略掉T - mgsinθ 的 x分量了!

這也是為何不用力學分析作的緣故，可以看出如果把T - mgsinθ的x分量寫出來

積分式會變多難算!

doraemonpaul · Answer

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/pendulum/pendulum0.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/pendulum/pendulum1.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/pendulum/pendulum2.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/pendulum/pendulum3.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/pendulum/pendulum4.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/pendulum/pendulum5.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/pendulum/pendulum6.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/pendulum/pendulum7.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/pendulum/pendulum8.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/pendulum/pendulum9.jpg

參考資料：
my wisdom of physics + my wisdom of maths + formula from http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_function#Properties

2010-03-20 08:15:16 補充：
+ http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html#eqn45

2010-03-21 04:48:59 補充：
天助，請不要質疑我的回答，因為我的回答是正確的。

x"(t) = - gx√(1 - x²)是怎麼來的？

請看http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/pendulum/explain.jpg，因為施向質點的切線力是mg sin 角度，因此施向質點的x方向力是要多乘cos 角度，再把它轉換成以x來表示，就會得出x"(t) = - gx√(1 - x²)。

2010-03-21 05:03:09 補充：
這樣的寫法有甚麼好處？因為題目只給x和y的資料，但沒有給角度的資料，因此這樣的寫法便無需另設參數了，若好像http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7009042700914的情況這樣的寫法更是必需的。再者，若有空氣阻力的話可輕易地把它改成x"(t) = - gx√(1 - x²) - kx'│x'│。

2010-03-21 05:13:42 補充：
至於x'(0) = 0是合理的。因為在(-1,0)和(1,0)這兩點該質點完全是只走向下的，故這刻x的方向是完全沒有velocity的，因此x'(0) = 0。你覺得不合理可能是因為你混淆了x和θ之間的分別。

天助 · Answer

不是SHM!

2010-03-07 12:56:54 補充：
來回要2倍 & R=1 !

2010-03-07 13:50:00 補充：
Sorry,我忘記Beta fn.的三角函數case已有2倍.

2010-03-19 17:21:20 補充：
請問d大:
 第1式: x"(t)= -gx√(1-x²) 是怎麼來的?
又 x=0, 1, -1時 x"(t)=0 不太合理喔!

2010-03-21 03:08:42 補充：
為何最後一式多出0.4倍?

求圓擺週期

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