外切最大矩形面積

只會第一題

(x/a)^2+(y/b)^2=1 橢圓外一點P作兩切線

此切線可垂直 則其軌跡為 x^2+y^2=a^2+b^2 (證明如下)

P=> y=mx ± (a^2*m^2+b^2)^1/2 (橢圓切線方程式)

y-mx=±(a^2*m^2+b^2)^1/2

y^2-2mxy+m^2*x^2=a^2*m^2+b^2

(x^2-a^2)m^2-2xym+(y^2-b^2)=0 ------(1)

m1*m2= -1 (垂直)

m1*m2=(y^2-b^2)/(x^2-a^2)=-1 由 (1)

x^2+y^2=a^2+b^2

而a,b為定值 a^2+b^2亦為定值

其軌跡成一圓 圓心(0.0) 半徑=(a^2+b^2)^1/2

在圓內兩條垂直的線 其第三邊必為直徑=2*(a^2+b^2)^1/2

令圓內兩垂直的線長為 t,s

t^2+s^2=直徑平方=4*a^2+4*b^2 -----------(2)

長方形面積=ts

(t^2+s^2)/2≥(t^2*s^2)^1/2 (算幾不等式)

(4*a^2+4*b^2)/2≥ts 由(2)

ts最大為 2*(a^2+b^2) =>最大長方形面積

(我原本打在意見 不過他說只能打300字)

(第二題應該也是差不多的證法吧)

Q2:應該是外接正方體吧!

總覺得有點直觀……不過詳細的證明不清楚= =