圓錐截面與面積體積

圓錐gamma: z=sqrt(xx+yy)*cotα

平面E: z=L+x*tanβ

(1)截面橢圓的長軸,短軸,焦距(2a, 2b, 2c)為何?

To calculate long axis:

when z=xcotα=L+x*tanβ

x=L/(cotα-tanβ) ; z=cotαL/(cotα-tanβ)

when z=-xcotα=L+x*tanβ

x=L/(-cotα-tanβ) ; z=cotαL/(-cotα-tanβ)

a=(L*sqrt((1/(cotα-tanβ) +1/(cotα+tanβ))^2)/cosβ)/2

=L*cotα/(cotα ^2-tanβ ^2)/cosβ

To calculate short axis:

x=(L/(cotα-tanβ) +L/(-cotα-tanβ) )/2

=L*tanβ/(cotα ^2-tanβ ^2)

z=L+x*tanβ=L*cotα ^2/(cotα ^2-tanβ ^2)

z=L+x*tanβ=L*cotα ^2/(cotα ^2-tanβ ^2)

yy=zz*tanα ^2 -xx

=LL*cotα ^2/(cotα ^2-tanβ ^2) ^2-LL*tanβ ^2/(cotα ^2-tanβ ^2)^2

=LL

b=L

c=sqrt(aa-bb)

=L*sqrt(cotα^2 -(cotα ^2-tanβ ^2)^2*cosβ^2)/(cotα ^2-tanβ ^2)/cosβ

(2)截面與圓錐所圍立體(含圓錐頂點)的體積=?

h=|L+0*tanβ-0|/sqrt(1+tanβ ^2)=LcosβV=ab*pi*h/3

=LL*cotα/(cotα ^2-tanβ ^2)/cosβ*pi*Lcosβ /3

=pi* L^3*cotα/(cotα ^2-tanβ ^2)/3

2010-04-30 20:45:13 補充：

訂正:

a=(L*sqrt((1/(cotα-tanβ) +1/(cotα+tanβ))^2)/cosβ)/2

=L*cotα/(cotα ^2-tanβ ^2)/cosβ

(=L*cosα sinαcosβ /cos(α+β)/cos(α-β))

To calculate short axis:

x=(L/(cotα-tanβ) +L/(-cotα-tanβ) )/2

=L*tanβ/(cotα ^2-tanβ ^2)

z=L+x*tanβ=L*cotα ^2/(cotα ^2-tanβ ^2)

2010-04-30 20:45:25 補充：

yy=zz*tanα ^2 -xx

=LL*cotα ^2/(cotα ^2-tanβ ^2) ^2-LL*tanβ ^2/(cotα ^2-tanβ ^2)^2

=LL/(cotα ^2-tanβ ^2)

b=L/sqrt(cotα ^2-tanβ ^2)

c=sqrt(aa-bb)

=L*sqrt(cotα^2 -(cotα ^2-tanβ ^2)*cosβ^2)/(cotα ^2-tanβ ^2)/cosβ

=L* tanβ /(cotα ^2-tanβ ^2)/sinα

(=L*sinBsinAcosB/cos(A+B)/cos(A-B))

2010-04-30 20:45:32 補充：

(2)截面與圓錐所圍立體(含圓錐頂點)的體積=?

h=|L+0*tanβ-0|/sqrt(1+tanβ ^2)=Lcosβ

V=ab*pi*h/3

=L*cotα/(cotα ^2-tanβ ^2)/cosβ*L/sqrt(cotα ^2-tanβ ^2)*pi*Lcosβ /3

=pi*L^3*cotα/(cotα ^2-tanβ ^2)^(3/2)/3

2010-05-06 11:21:19 補充：

Gamma & E 在平面 y=0上截出三角形

設三角形 三邊長 p,q,r; q>r

設 S=(p+q+r)/2, Sp=S-p, Sq=S-q, Sr=S-r

then

a=p/2

a-c=S-q

==> c=(q-r)/2

==> b=sqrt(aa-cc)=sqrt((p+q-r)(p-q+r)/4)=sqrt(Sq*Sr)

h=2sqrt(S*Sp*Sq*Sr)/p

V=pi*a*b*h /3

=pi*p/2*sqrt(Sq*Sr)*2sqrt(S*Sp*Sq*Sr)/p /3

=pi*Sq*Sr*sqrt(S*Sa)/3

2010-05-06 11:22:44 補充：

=pi*Sq*Sr*sqrt(S*Sp)/3