正整數a,b;若(a*a+3b)與(b*b+3a)都是完全平方數;求(a+b)最大值?

兩式中 a , b 輪換對稱, 不妨令 a ≥ b ,

則 a² < a² + 3b ≤ a² + 3a < a² + 4a + 4 = (a + 2)²

而 a² + 3b 是完全平方數, 必有 a² + 3b = (a + 1)² ⇔ 3b = 2a + 1

則 b² + 3a = b² + 3(3b - 1)/2 是完全平方數。

令 b² + 3(3b - 1)/2 = n²

16b² + 72b - 24 = 16n²

(4b)² + 2(4b)9 + 81 - 105 = 16n²

(4b + 9)² - (4n)² = 105

(4b + 9 - 4n) (4b + 9 + 4n) = (1)(105) 或 (3)(35) 或 (5)(21) 或 (7)(15)

(4b + 9 - 4n) + (4b + 9 + 4n) = 1 + 105 或 3 + 35 或 5 + 21 或 7 + 15

8b + 18 = 106 或 38 或 26 或 22

b = 11 或 2.5(捨) 或 1 或 0.5(捨)

代回 3b = 2a + 1 得 (a , b) = (16 , 11) 或 (1 , 1)

故 a + b 最大值 = 16 + 11 = 27。