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1 個解答
- 老怪物Lv 77 日前
(昨晚的回答有問題, 算是回答了一半.
今算是補全了.)
設 xyz = k.
則 x, y, z 之幾何平均為 k^(1/3).
由算幾不等式,
(x + y + z)/3 ≧ k^(1/3).
若 k ≧ 1, 則由
平方之平均 不小於 平均之平方,
即:
(x^2+y^2+z^2)/3 ≧ [(x+y+z)/3]^2
得
x^2 + y^2 + z^2
≧ 3[(x+y+z)/3]^2 = [(x+y+z)/3](x+y+z)
≧ [(x+y+z)/3]k
≧ k^(1/3) k
≧ k = xyz
若 k < 1, 則
(x + y + z)/3 ≧ k^(1/3)
故
x^2 + y^2 + z^2
≧ 3[(x+y+z)/3]^2
≧ 3k^(2/3)
≧ 3k
> k = xyz
故在 x+y+z≧xyz 條件下, 必有
x^2 + y^2 + z^2 ≧ xyz
註:
僅當 xyz = k > 3^(3/2) 時, k > 3k^(1/3),
條件
x + y + z ≧ xyz
才會對 x, y, z 造成限制.
當 xyz = k ≦ 3^(3/2) 時, 必有
x + y + z ≧ xyz.
所以, 在 x, y, z > 0 條件下,
xyz≧3^(3/2) 且 x+y+z≧xyz ==> x^2+y^2+z^2≧xyz;
xyz < 3^(3/2) ==> x+y+z≧xyz 且 x^2+y^2+z^2≧xyz.