方程式根平方後的絕對值總和

Question

有一方程式常數項為零,依升冪排列時,前24項係數與其次方相同,第25項到第47項係數則為48減去各項次方後的數字;(第1項為x的1次方且係數1, 第2項為x的2次方且係數2, 第3項為x的3次方且係數3,……, 第24項為x的24次方且係數24, 第25項為x的25次方且係數23,第26項為x的26次方且係數22,第27項為x的27次方且係數21,….., 第47項為x的47次方且係數1),
將此方程式所有相異根平方後,取這些平方後的數之虛部係數絕對值,求這些虛部係數絕對值的總和.

天助 · Accepted Answer

x+2x^2+3x^3+...+24x^24+23x^25+...+2x^46+x^47=0
x(1+x+x^2+...+x^23)^2=0
相異根x=0 or x^24=1 (x不等於1)
so, x=0, (coskt+i sinkt, t= π/12, k=1,2,...,23)
相異根的平方=0, cos(k π/6)+ i sin(k π/6), k=1,2,3,..., 23
虛部絕對值和= 4[sin(π/6)+sin(π/3)+sin(π/2)+sin(π/3)+sin(π/6)] = 4(2+√3)

方程式根平方後的絕對值總和

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