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|cosx-cosy|+cosxcosy<=1/2cosx+
設
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則滿足不等式
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的(x,y)共有幾組?
4 個解答
- ☂雨後晴空☀Lv 76 年前最愛解答
設 - 2π/3 ≤ x ≤ 2π/3 、0 ≤ y ≤ π
則滿足不等式 |cosx - cosy| + cosx cosy ≤ ½ cosx + ½ cosy - ¼
的(x,y)共有幾組?
解:
|cosx - cosy| + cosx cosy ≤ ½ cosx + ½ cosy - ¼
|cosx - cosy| ≤ - cosx cosy + ½ cosx + ½ cosy - ¼
|cosx - cosy| ≥ cosx cosy - ½ cosx - (½ cosy - ¼)
|cosx - cosy| ≥ cosx (cosy - ½) - ½ (cosy - ½)
|cosx - cosy| ≥ (cosx - ½) (cosy - ½)
cos 2π/3 ≤ cosx ≤ cos 0
- ½ ≤ cosx ≤ 1
- 1 ≤ cosx - ½ ≤ ½
cos π ≤ cosy ≤ cos 0
- 1 ≤ cosy ≤ 1
- 3/2 ≤ cosy - ½ ≤ ½
令 a = cosx - ½ , b = cosy - ½ , 則 | a - b | ≥ ab , - 1 ≤ a ≤ ½ , - 3/2 ≤ b ≤ ½ 。
若 a > b , 則
| a - b | = a - b ≥ ab
a(1 - b) ≥ b , (1 - b > 0)
a ≥ b/(1 - b) = 1/(1 - b) - 1 在 [- 3/2 , ½] 上遞增, 得 - 3/5 ≤ b/(1 - b) ≤ 1。
在 [- 3/2 , ½] 上 b/(1 - b) - b = b² / (1 - b) ≥ 0 , 得 b/(1 - b) ≥ b。
則 a ≥ b/(1 - b) ≥ b , 故- 3/5 ≤ a ≤ ½ 及 - 3/5 ≤ b/(1 - b) ≤ ½ , 得- 3/2 ≤ b ≤ 1/3。
故當 cosx > cosy , 有 - 3/5 ≤ cosx - ½ ≤ ½ 及 - 3/2 ≤ cosy - ½ ≤ 1/3
⇔ cosx > cosy 及 - 1/10 ≤ cosx ≤ 1 及 - 1 ≤ cosy ≤ 5/6
⇒ x < y 及 0 ≤ x ≤ 1.67096... 及 0.58568... ≤ y ≤ π
⇒ |x| < y 及 0 ≤ |x| ≤ 1.67096... , (- 2π/3 ≤ x ≤ 2π/3)
及 0.58568... ≤ y ≤ π , (0 ≤ y ≤ π) , 其中 cosx - ½ ≥ (cosy - ½) / (1 - (cosy - ½))
即 cosx ≥ (cosy + ½) / (3 - 2cosy)。
若 a < b , 則
| a - b | = b - a ≥ ab
b(1 - a) ≥ a , (1 - a > 0)
b ≥ a/(1 - a) = 1/(1 - a) - 1 在 [- 1 , ½] 上遞增, 得 - ½ ≤ a/(1 - a) ≤ 1。
則 b ≥ a/(1 - a) , 故 - ½ ≤ b ≤ ½ 及 - ½ ≤ a/(1 - a) ≤ ½ , 得 - 1 ≤ a ≤ 1/3。
故當 cosy > cosx , 有 - ½ ≤ cosy - ½ ≤ ½ 及 - 1 ≤ cosx - ½ ≤ 1/3
⇔ cosy > cosx 及 0 ≤ cosy ≤ 1 及 - ½ ≤ cosx ≤ 5/6
⇒ y < x 及 0 ≤ y ≤ π/2 及 0.58568... ≤ x ≤ 2π/3
⇒ y < |x| 及 0 ≤ y ≤ π/2 , (0 ≤ y ≤ π)
及 0.58568... ≤ |x| ≤ 2π/3 , (- 2π/3 ≤ x ≤ 2π/3) ,
其中 cosy - ½ ≥ (cosx - ½) / (1 - (cosx - ½)) 即 cosy ≥ (cosx + ½) / (3 - 2cosx)。
若 a = b , 則 | a - b | = 0 ≥ a² ,
0 ≥ (cosx - ½)²
cosx = cosy = ½
x = π/3 或 - π/3 , (- 2π/3 ≤ x ≤ 2π/3)
y = π/3 (0 ≤ y ≤ π)。
2015-06-12 10:55:45 補充：
不等式運算有誤修正如下:
|cosx - cosy| + cosx cosy ≤ ½ cosx + ½ cosy - ¼
|cosx - cosy| ≤ - cosx cosy + ½ cosx + ½ cosy - ¼
- |cosx - cosy| ≥ cosx cosy - ½ cosx - (½ cosy - ¼)
- |cosx - cosy| ≥ cosx (cosy - ½) - ½ (cosy - ½)
- |cosx - cosy| ≥ (cosx - ½) (cosy - ½)
2015-06-12 10:56:04 補充：
cos 2π/3 ≤ cosx ≤ cos 0
- ½ ≤ cosx ≤ 1
- 1 ≤ cosx - ½ ≤ ½
cos π ≤ cosy ≤ cos 0
- 1 ≤ cosy ≤ 1
- 3/2 ≤ cosy - ½ ≤ ½
令 a = cosx - ½ , b = cosy - ½ , 則 - | a - b | ≥ ab , - 1 ≤ a ≤ ½ , - 3/2 ≤ b ≤ ½ 。
2015-06-12 10:56:24 補充：
若 a > b , 則 - | a - b | = b - a ≥ ab
b(1 - a) ≥ a , (1 - a > 0)
b ≥ a/(1 - a)
a > b > a/(1 - a)
a(1 - a) > a
若 - 1 ≤ a < 0 則 1 - a < a/a = 1 得 a > 0 矛盾!
a ≠ 0
若 0 < a ≤ ½ 則 1 - a > a/a = 1 得 a < 0 矛盾!
故 a > b 即 cosx > cosy 時無解。
2015-06-12 10:56:39 補充：
若 a < b , 則 - | a - b | = a - b ≥ ab
a(1 - b) ≥ b , (1 - b > 0)
a ≥ b/(1 - b)
b > a ≥ b/(1 - b)
b(1 - b) > b
若 - 3/2 ≤ b < 0 則 1 - b < b/b = 1 得 b > 0 矛盾!
b ≠ 0
若 0 < b ≤ ½ 則 1 - b > b/b = 1 得 b < 0 矛盾!
故 a < b 即 cosx < cosy 時無解。
2015-06-12 10:56:46 補充：
所以 a = b , 則 - | a - b | = 0 ≥ ab = a² , 得 a = b = 0。
即 cosx - ½ = cosy - ½ = 0 ,
cosx = cosy = ½
x = π/3 或 - π/3 , (- 2π/3 ≤ x ≤ 2π/3)
y = π/3 (0 ≤ y ≤ π)。
(x , y) = (± π/3 , π/3) , 共 2 組解。
- 知足常樂Lv 76 年前
