20點 一個很奇形怪狀的因數有關問題

若該數為奇數, 則其四個最小正因數亦為奇數, 它們的平方和為偶數, 矛盾!

故該數為偶數, 其四個最小正因數明顯包含 1 , 2。第三最小正因數若為合數, 則只能為 4 ,

否則 4 以外的合數都存在大於 2(第二最小正因數)而小於本身(第三最小正因數)之因數, 矛盾!當首三個最小正因數為 1 , 2 , 4 時, 第四最小正因數必須為奇數才可使四個最小因數平方和為偶數。

設第四最小正因數 = 2f + 1 ,

則該數 = 1² + 2² + 4² + (2f + 1)² = 4(f² + f + 5) + 2 不含因數 4 , 矛盾!故第三最小正因數必為大於 2 的奇質數 p ,推知第四最小正因數為偶數使四個最小因數平方和為偶數。今設第四最小正因數為 2k ,因 2 , p 互質,故 2p 為該數因數, 所以 1 < k ≤ p。

若 k < p ,必須 k = 2,否則 2(第二最小正因數)< k < p(第三最小正因數),矛盾!

故當 k < p 時四個最小正因數為 1 , 2 , p=3 , 2k=4 ,

該數為 1² + 2² + 3² + 4² = 30 不含因數 4 , 矛盾! 從而 k = p ,四個最小正因數分別為 1 , 2 , p , 2p。

於是該數為 1² + 2² + p² + (2p)² = 5(p² + 1) ,注意 p² + 1 不含因數 p ,故必有 p = 5 , 得該數為 5(5² + 1) = 130 = 2 × 5 × 13。故能整除此正整數的最大質數為 13。