一個配合題答對題數的個數的問題

以下的問題等於n個項的配合題答對題數為0，1，2，...，n題個數的問題。我們知道三個數字 (1，2，3)的排列共有6個:(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)和(3，2，1)。這6個中，和(1，2，3)位子沒有相同數字的有(2，3，1)，(3，1，2)……2個；這6個中，和(1，2，3)位子有1個相同數字的有(1，3，2)，(2，1，3)，(3，2，1)……3個；這6個中，和(1，2，3)位子2個有相同數字的沒有……0個；這6個中，和(1，2，3)位子有3個相同數字的有(1，2，3)……1個；如果我們用S(3)={2，3，0，1}表示(1，2，3)所有排列中，和(1，2，3)位子有0個，1個，2個，3個相同數字的個數序列。那麼使用蠻力可以得到S(4)={9，8，6，0，1}，因為(1，2，3，4)的排列共有24個，和(1，2，3，4)位子有0，1，2，3，4個相同數字的個數分別有9，8，6，0，1個。問題:請問若n為正整數，如何計算 :

S(n)=(s0，s1，…，sn)=?{*前5個為: S(1)={0，1}，S(2)={1，0，1}，S(3)={2，3，0，1}，S(4)= {9，8，6，0，1}，S(5)={44，45，20，10，0，1} *}