數學 : 平方數求證

設(x^2+y^2+x)/xy = n, n 是一正整數

掉項後可得 (x+y)^2 = (n+2)xy - x = x ( (n+2)y - 1)

*假設 x 不是平方數, 那麼必有一個數m>1 使得 m 同時整除 x 和 (n+2)y - 1

所以 m 也整除 (x+y)^2, 也整除 x+y

m 整除 x 又整除 x+y 也必整除 y

但因為 m 整除 (n+2)y - 1 所以 m 整除 1, 矛盾

2013-07-19 16:48:41 補充：

忘記寫 設m 為質數

002 Ting Fung :

可否解釋為何「m 整除 (x+y)^2, 也整除 x+y」 ?

以上ge意見好讚`﹗

當 x=4;y=10; (x^2 +y^2 +x)/xy= 3

y^2 = kx => k = 25

y^2 不等於 k; y^2 也不等於 x???

2013-07-13 23:31:59 補充：

可以這樣表達：若 gcd⁡(k,x)=d

則k=da^2;x=db^2=>y=abd

那麽 x+k+1=zy

1=zabd-da^2-db^2=d(zab-a^2-b^2 )

=>d=1=>x=b^2

2013-07-13 23:48:10 補充：

從頭再整理一下：

(x^2+y^2+x)/xy=n

x^2+y^2+x=nxy

y^2=(ny-x-1)x=kx

If gcd⁡(k,x)=d then k=da^2;x=db^2=>y=abd

k=nabd-db^2-1=da^2

1=d(nab-b^2-a^2 )=>d=1

So x=b^2

2013-07-14 10:43:49 補充：

都是來自你的方法 ！

當X是雙數,Y一定都是雙數

(x² + y² + x ) / (xy)

由於(x²+ x )可被 x 除盡

y²也一定要被 x 除盡

y²=kx ,k為正整數

sub y²=kx to (x² + y² + x ) / (xy)

(x² + y² + x ) / (xy) =( x + k +1)/y=Z, Z為正整數

y²=kx

若k或x都不等於1

(x +k)與y就不互質,contradiction,因為Z為正整數

y²=k(x=1) or y²=x

所以x 必為平方數.

2013-07-13 21:47:58 補充：

第一句是打多了的=,=

跟證明無關

2013-07-13 22:56:31 補充：

若k或x都不等於1或平方數=.= 打小左

2013-07-13 23:14:24 補充：

若k或x沒有一個等於1,又或是沒有一個是平方數

對不起T_T...

加上這個就完整了

不然的話

(x +k)與y就不互質這話也不能成立

當x和k其中一個是平方數,另一都一定是

2013-07-14 01:07:19 補充：

*.*我見到了T^T

咁樣去證明

k,x互質

於是一定是平方數

強! 抄抵,下次用XDDD

2013-07-19 20:58:16 補充：

好野

我的是y^2

比人一改

變左(x+y)^2

就好似係第二個答案咁

2013-07-19 21:00:23 補充：

仲可以答埋出黎

我覺得勁人太多

我只是班門弄斧

2013-07-19 21:37:00 補充：

對不起T_T

我太衝動了

歡迎