數學問題 : 待定系數

f(2) = 2³ + a(2)² + b(2) + c

0 = 4a + 2b + c + 8

c = - 4a - 2b - 8

∴ f(x) = x³ + ax² + bx - (4a + 2b + 8)

| f(2 - √3) | = | (2 - √3)³ + a(2 - √3)² + b(2 - √3) - (4a + 2b + 8) | < 0.0001

⇔

(2 - √3)³ + a(2 - √3)² + b(2 - √3) - (4a + 2b + 8) < 0.0001

{

(2 - √3)³ + a(2 - √3)² + b(2 - √3) - (4a + 2b + 8) > - 0.0001⇔

(2 - √3)³ + a(2 - √3)² + b(2 - √3) - (4a + 2b) < 8.0001

{

(2 - √3)³ + a(2 - √3)² + b(2 - √3) - (4a + 2b) > 7.9999⇔

26 - 15√3 + a(3 - 4√3) - b√3 < 8.0001

{

26 - 15√3 + a(3 - 4√3) - b√3 > 7.9999⇔

3a - (4a + b + 15)√3 < - 17.9999

{

3a - (4a + b + 15)√3 > - 18.0001

∴ 3a - (4a + b + 15)√3 ≈ - 18

Set a = - 6 , 4a + b + 15 = 0 ,

then b = 9 ,

and c = - 4a - 2b - 8 = - 2

2012-11-23 21:21:12 補充：

令其他解為 a = m - 6 , b = n + 9 ,

則由 - 10 ≤ a , b ≤ 10 得

- 4 ≤ m ≤ 16

- 19 ≤ n ≤ 1

2012-11-23 21:23:41 補充：

而 3a - (4a + b + 15)√3 ≈ - 18

3(m - 6) - (4(m - 6) + (n + 9) + 15)√3 ≈ - 18

3(- 6) - (4(- 6) + 9 + 15)√3 + 3m - (4m + n)√3 ≈ - 18

- 18 + 3m - (4m + n)√3 ≈ - 18

3m - (4m + n) √3 ≈ 0

n √3 ≈ (3 - 4√3)m

n ≈ (√3 - 4)m

n ≈ - 2.267949... m

2012-11-23 21:48:01 補充：

在 m , n 範圍內除 m = n = 0 外 , 無適當整值滿足以上近似式。

故 a , b , c 只有唯一解。

a=-6 是否唯一的答案?