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Lv 6
? 發問於 科學數學 · 4 年前

方陣之特徵向量個數與秩的關係?

有個小問題想要請教各位，

考慮任意實值方陣A(NxN)，是否保證，線性獨立，且特徵值非零的特徵向量個數是否會等於Rank(A)？

此個數應當不會超過Rank(A)，理由是如果特徵向量的特徵值非零，那麼該特徵向量必定會存在於A映射的值域之中，換而言之獨立且特徵值非零的特徵向量集必然構成Range(A)某個子空間的基底，這也就保證它們的個數不會超過dim{Range(A)}=Rank(A)

謝謝！

1 個解答

評分
  • ?
    Lv 6
    4 年前

    問題已解決！

    考慮反例：A=[

    [1 1],

    [0 1]

    ]

    即有unique eigenvalue: 1

    dim{Ker(A-I)}=1

    而det(A)=1!=0

    所以Rank(A)=2

    構成矛盾

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