變分問題2 條怎樣做? 請詳細說明 thank you?

02 (a)

[ ∵ 其中一部份隨 P 正變，另一部份隨 P 的平方正變 ]

∴ A = k₁ P + k₂ P²

[ 利用已知的資料找出 k₁ 及 k₂ ]

當 P = 24，A = 36

36 = 24 k₁ + 24² k₂

36 = 24 k₁ + 576 k₂

2 k₁ + 48 k₂ = 3 ...... ①

當 P = 18，A = 9

9 = 18 k₁ + 18² k₂

9 = 18 k₁ + 324 k₂

2 k₁ + 36 k₂ = 1 ...... ②

[ 現在解二元一次方程 ]

{ 2 k₁ + 48 k₂ = 3 ...... ①

{ 2 k₁ + 36 k₂ = 1 ...... ②

① - ②：

( 2 k₁ + 48 k₂ ) - ( 2 k₁ + 36 k₂ ) = 3 - 1

12 k₂ = 2

k₂ = 1/6

代 k₂ = 1/6 入 ②

2 k₁ + 36 (1/6) = 1

2 k₁ + 6 = 1

k₁ = (1 - 6)/2 = -5/2

∴ A = - 5P/2 + P²/6

A = P²/6 - 5P/2

(bi)

已知面積 ( A ) 為 54 cm²，求周界 ( P )

54 = P²/6 - 5P/2

P² - 15 P - 324 = 0

(P - 27) (P + 12) = 0

P = 27　或 -12 ( 捨去，因為 P > 0 )

∴ 該書簽的周界 = 27 cm

(bii)

[ 書簽製造商欲生產一與最暢銷的紙簽形狀相似的金裝迷你書簽 ]

[ 因為題目並沒有說過這個金裝迷你書簽是符合 A = P²/6 - 5P/2 這算式 ]

[ 所以不能代這個面積 = 8 入 A = P²/6 - 5P/2 以求其周界 ]

[ 但題目指金裝迷你書簽與最暢銷的紙簽形狀相似，所以可利用「相似」的特性來求周界 ]

設

P₁ = 金裝迷你書簽的周界

A₁ = 金裝迷你書簽的面積 ( = 8 )

P₂ = 最暢銷的紙簽的周界 ( = 27 )

A₂ = 最暢銷的紙簽的面積 ( = 54 )

∵ 金裝迷你書簽與最暢銷的紙簽形狀相似

A₁ / A₂ = (P₁ / P₂)²

8 / 54 = (P₁ / 27)²

P₁ / 27 = √(4 / 27)

P₁ = 27 (2 / √27) = 2 √27 = 2 (3√3) = 6√3

∴ 其周界 = 6√3 cm

03 (a)

[ 一部份隨 L 正變，另一部份隨 L 的平方正變 ]

∴ V = k₁ L + k₂ L²

[ 利用已知的資料找出 k₁ 及 k₂ ]

當 L = 10，V = 30

30 = 10 k₁ + 10² k₂

30 = 10 k₁ + 100 k₂

k₁ + 10 k₂ = 3 ...... ①

當 L = 15，V = 75

75 = 15 k₁ + 15² k₂

75 = 15 k₁ + 225 k₂

k₁ + 15 k₂ = 5 ...... ②

[ 現在解二元一次方程 ]

{ k₁ + 10 k₂ = 3 ...... ①

{ k₁ + 15 k₂ = 5 ...... ②

② - ①：

( k₁ + 15 k₂ ) - ( k₁ + 10 k₂ ) = 5 - 3

5 k₂ = 2

k₂ = 2/5

代 k₂ = 2/5 入 ①

k₁ + 10 (2/5) = 3

k₁ + 4 = 3

k₁ = 3 - 4 = -1

∴ V = - L + 2L²/5

V = 2L²/5 - L　　, 5 ≤ L ≤ 25

(b)

當 V ≥ 30 時，求 L 的取值範圍

V ≥ 30

2L²/5 - L ≥ 30

2L² - 5L ≥ 150

2L² - 5L - 150 ≥ 0

(2L + 15) (L - 10) ≥ 0

L ≤ -15/2 ( 捨去，因為 5 ≤ L ≤ 25 )　或　L ≥ 10

∵ 5 ≤ L ≤ 25 及 L ≥ 10

∴ 10 ≤ L ≤ 25

L 的取值範圍為 10 ≤ L ≤ 25