1. 利用數學歸納法證明以下有限數列之和 : 1 + 3 + 6 + .... + n(n + 1) / 2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2) , 對於所有正整數 n 都成立。?

1.利用數學歸納法證明以下有限數列之和：1+3+6+ .... +n(n+1)/2=1/6n(n+1)(n+2)， 對於所有正整數 n 都成立?

Sol

當n=1時

左=1*(1+1)/2=1

右=1*(1+1)*(1+2)/6=1

n=1時為真

設n=k時為真即

1+3+6+ .... + k(k+1)/2=k(k+1)(k+2)/6

1+3+6+ .... + k(k+1)/2+(k+1)(k+2)/2

=k(k+1)(k+2)/6+(k+1)(k+2)/2

=(k+1)(k+2)/6*(k+3)

=(k+1)(k+2)(k+3)/6

So n=k+1時為真

2 利用數學歸納法證明以下有限數列之和：

1/(1*3)+1/(3*5)+1/(5*7)+....+1/[(2n－1)(2n+1)]=n/(2n+1)，對於所有正整數 n 都成立

Sol

當n=1時

左=(2*1-1)/(2*1+1)=1/3

右=1/(2*1+1)=1/3

n=1時為真

設n=k時為真即

1/(1*3)+1/(3*5)+1/(5*7)+....+1/[(2k－1)(2k+1)]=k/(2k+1)

1/(1*3)+1/(3*5)+1/(5*7)+....+1/[(2k－1)(2k+1)]+1/[(2k+1)(2k+2)]

=k/(2k+1)+1/[(2k+1)(2k+3)]

=[k(2k+3)+1]/[(2k+1)(2k+3)]

=(2k^2+3k+1)/[(2k+1)(2k+3)]

=(2k+1)(k+1)/[(2k+1)(2k+3)]

=(k+1)/[2(k+1)+1]

So n=k+1時為真

3 利用數學歸納法證明以下有限數列之和：

1*4+2*7+3*10+....+n(3n+1)=n(n+1)^2，對於所有正整數 n 都成立

Sol

當n=1時

左=1*(3*1+1)=1*4=4

右=1*(1+1)^2=4

n=1時為真

設n=k時為真即

1*4+2*7+3*10+....+k(3k+1)=k(k+1)^2

1*4+2*7+3*10+....+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)

=k(k+1)^2+(k+1)(3k+4)

=(k+1)[k(k+1)+(3k+4)]

=(k+1)(k^2+4k+4)

=(k+1)[(k+1)+1]^2

So n=k+1時為真

4 利用數學歸納法證明以下有限數列之和：

1^2/(1*3)+2^2/(3*5)+3^2/(5*7)+....+n^2/[(2n－1)(2n+1)]=n(n+1)/[2(2n+1)]，對於所有正整數 n 都成立

Sol

當n=1時

左=1^2/(1*3)=1/3

右=1*(1+1)/(2*3)=1/3

n=1時為真

設n=k時為真即

1^2/(1*3)+2^2/(3*5)+3^2/(5*7)+....+k^2/[(2k－1)(2k+1)]=k(k+1)/[2(2k+1)]

1^2/(1*3)+2^2/(3*5)+3^2/(5*7)+....+k^2/[(2k－1)(2k+1)]+(k+1)^2/[(2k+1)(2k+2)]

=k(k+1)/[2(2k+1)]+(k+1)^2/[(2k+1)(2k+3)]

=(k+1)/[2(2k+1)(2k+3)]*[k(2k+3)+2(k+1)]

=(k+1)(2k+1)(k+2)/[2(2k+1)(2k+3)]

=(k+1)(k+2)/[2(2k+3)]

So n=k+1時為真

5. (a) 利用數學歸納法證明以下有限數列之和：

2^3+4^3+6^3+......+(2n)^3=2n^2(n+1)^2，對於所有正整數 n 都成立

Sol

當n=1時

左=2^3=8

右=2*1^2*2^2=8

n=1時為真

設n=k時為真即

2^3+4^3+6^3+......+(2k)^3=2k^2(k+1)^2

2^3+4^3+6^3+......+(2k)^3+(2k+2)^2

=2k^2(k+1)^2+(2k+2)^3

=2(k+1)^2*[k^2+4(k+1)]

=2(k+1)^2(k+2)^2

So n=k+1時為真

(b) 利用 (a) 部的公式，計算下列數列之和2^3+4^3+6^3+......+70^3

2^3+4^3+6^3+......+70^3

=2*70^2*71^2

=49401800

6 利用數學歸納法證明以下有限數列之和：

2^2+4^2+6^2+...... +(2n)^2=2n(n+1)(2n+1)/3，對於所有正整數 n 都成立

Sol

當n=1時

左=2^2=4

右=2*1*(1+1)*(2*1+1)/3=4

n=1時為真

設n=k時為真即

2^2+4^2+6^2+...... +(2k)^2=2k(k+1)(2k+1)/3

2^2+4^2+6^2+...... +(2k)^2+(2k+2)^2

=2k(k+1)(2k+1)/3+(2k+2)^2

=2(k+1)/3*[k(2k+1)+6(k+1)]

=2(k+1)/3*(2k^2+7k+6)

=2(k+1)(k+2)(2k+3)/3

So n=k+1時為真