拋物線y=-(x-p)(x-p)+q的頂點在y=x(x*x-2)上,且此二曲線恰有兩交點求p值?

Sol

x(x^2－2)=x^3－2x

設頂點(a，a^3－2a)

y=－(x－a)^2+(a^3－2a)

p=a

－(x－a)^2+(a^3－2a)=x^3－2x

x^3+x^2+(－2a－2)x+(－a^3+a^2+2a)

　　　　ｘ２＋（ａ＋１）ｘ＋（ａ－２）（ａ＋１）

　　　───────────────────────────

ｘ－ａ）ｘ３＋　ｘ２－２（ａ＋１）ｘ－ａ３＋ａ２＋２ａ

　　　）ｘ３－ａｘ２

　　　）──────────────────────────

　　　）（ａ＋１）ｘ２－２（ａ＋１）ｘ－ａ３＋ａ２＋２ａ

　　　）（ａ＋１）ｘ２－ａ（ａ＋１）ｘ

　　　）──────────────────────────

　　　）（ａ－２）（ａ＋１）ｘ－ａ３＋ａ２＋２ａ

　　　）（ａ－２）（ａ＋１）ｘ－ａ（ａ－２）（ａ＋１）

　　　）──────────────────────────

　　　）０

恰有兩交點=>有２重根

(1) x=a 有2重根

a^2+(a+1)a+(a－2)(a+1)=0

a^2+a^2+a+a^2－a－2=0

a^2=2/3

a=p=+/-√6/3

(2) x^2+(a+1)x+(a^2－a－2)=0有2重根

D=(a+1)^2－4*1*(a^2－a－2)=0

(a^2+2a+1)－(4a^2－4a－8)=0

－3a^2+6a+9=0

a^2－2a－3=0

(a－3)(a+1)=0

p=3 or p=－1

So

p=+/-√6/3 or p=3 or p=－1