正整數n介於1~1000000之間,n為1001的倍數 ,但n不為9的倍數 ,且n的十進制表示法不含數字1,8,9; 則n有多少個?

Question

☂雨後晴空☀ · Accepted Answer

1 × 1001 = 001,001 ≤ n ≤ 999 × 1001 = 999,999 < 1000000
問題等價於在 001 至 999 中不為 9 的倍數, 且其十進制表示法不含數字1,8,9的整數有多少個?
設 N 符合條件, 則 001 ≤ N ≤ 999只能由7個數字 0,2,3,4,5,6,7 之任何3個(可重複但不為000)所組成(有7³ - 1 = 342 個)且不為 9 的倍數。
而 18 = 4+7+7 = 5+6+7 = 6+6+6  ,  9 = 0+2+7 = 0+3+6 = 0+4+5 = 2+2+5 = 2+3+4 = 3+3+3
故由 (4,7,7) , (5,6,7) , (6,6,6) , (0,2,7) , (0,3,6) , (0,4,5) , (2,2,5) , (2,3,4) , (3,3,3) 所組成的數均為9的倍數, 
共有 3!/2! + 3! + 3!/3! + 3! + 3! + 3! + 3!/2! + 3! + 3!/3! = 3 + 6 + 1 + 6 + 6 + 6 + 3 + 6 + 1 = 38 個。
於是 N 或 n 有 342 - 38 = 304 個。

Va · Answer

A*1001=A00A
BC*1001=BC0BC
DEF*1001=DEFDEF

這等同在問n介於000~777之間, 但n不為9的倍數 ,且n的十進制表示法不含數字1,8,9, 
這樣的n有304個：
每個位值可取{0, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 7個數字之中的3個數(可重複)
這樣的組合數共有7*7*7=343個
但有些組合是錯的, 要排除,
位值加起來是0, 9或18的話, 都是9的倍數,

位值加總是0的組合:
{0, 0, 0}, 共1個

位值加總是9的組合:
{0, 2, 7}, {0, 3, 6}, {0, 4, 5},
{2, 2, 5}, {2, 3, 4},
{3, 3, 3}
共 3! + 3! + 3! + 3!/2! + 3! + 3!/3! = 28個

加總是18的組合:
{4, 7, 7}, {5, 6, 7}, {6, 6, 6}
共3!/2! + 3! + 3!/3! = 10個

所以共排除1 + 28 + 10 =39個

n的組合共有343 - 39 = 304個, 
(☂雨後晴空☀多算了10個變成314, 因為他漏減了3個情況)

n的列表
2 	3 	4 	5 	6 	7 	
20 	22 	23 	24 	25 	26 	
30 	32 	33 	34 	35 	37 	
40 	42 	43 	44 	46 	47 	
50 	52 	53 	55 	56 	57 	
60 	62 	64 	65 	66 	67 	
70 	73 	74 	75 	76 	77 	
200 	202 	203 	204 	205 	206 	
220 	222 	223 	224 	226 	227 	
230 	232 	233 	235 	236 	237 	
240 	242 	244 	245 	246 	247 	
250 	253 	254 	255 	256 	257 	
260 	262 	263 	264 	265 	266 	
267 	272 	273 	274 	275 	276 	
277 	300 	302 	303 	304 	305 	
307 	320 	322 	323 	325 	326 	
327 	330 	332 	334 	335 	336 	
337 	340 	343 	344 	345 	346 	
347 	350 	352 	353 	354 	355 	
356 	357 	362 	363 	364 	365 	
366 	367 	370 	372 	373 	374 	
375 	376 	377 	400 	402 	403 	
404 	406 	407 	420 	422 	424 	
425 	426 	427 	430 	433 	434 	
435 	436 	437 	440 	442 	443 	
444 	445 	446 	447 	452 	453 	
454 	455 	456 	457 	460 	462 	
463 	464 	465 	466 	467 	470 	
472 	473 	474 	475 	476 	500 	
502 	503 	505 	506 	507 	520 	
523 	524 	525 	526 	527 	530 	
532 	533 	534 	535 	536 	537 	
542 	543 	544 	545 	546 	547 	
550 	552 	553 	554 	555 	556 	
557 	560 	562 	563 	564 	565 	
566 	570 	572 	573 	574 	575 	
577 	600 	602 	604 	605 	606 	
607 	620 	622 	623 	624 	625 	
626 	627 	632 	633 	634 	635 	
636 	637 	640 	642 	643 	644 	
645 	646 	647 	650 	652 	653 	
654 	655 	656 	660 	662 	663 	
664 	665 	667 	670 	672 	673 	
674 	676 	677 	700 	703 	704 	
705 	706 	707 	722 	723 	724 	
725 	726 	727 	730 	732 	733 	
734 	735 	736 	737 	740 	742 	
743 	744 	745 	746 	750 	752 	
753 	754 	755 	757 	760 	762 	
763 	764 	766 	767 	770 	772 	
773 	775 	776 	777

正整數n介於1~1000000之間,n為1001的倍數 ,但n不為9的倍數 ,且n的十進制表示法不含數字1,8,9; 則n有多少個?

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