數列遞迴關係為 a(k+2)=a(k+1)-a(k); 第1項至第2000項之和為2014; 第1項至第2014項之和為2000; 求第1項至第2015項之和為何?

這題可分為 3 部份

第 1 部份：從數列遞迴關係找出其他的資料

第 2 部份：計算數列裏的值

第 3 部份：計算答案

http://s8.postimg.org/5cy8xx61v/111.png

設 a(1)＝x，a(2)＝y，則

a(3)＝y－x

a(4)＝(y－x)－y＝-x＝-a(1)

a(5)＝-x－(y－x)＝-y＝-a(2)

a(6)＝-y－(-x)＝x－y＝-a(3)

a(7)＝(x－y)－(-y)＝x＝a(1)

a(8)＝x－(x－y)＝y＝a(2)

所以，a(1)＝-a(4)＝a(7)＝-a(10)＝⋯⋯

即 a(k)＝-a(k+3)＝a(k+6)＝-a(k+9)＝⋯⋯

而且 a(k)＋a(k＋3)＝0

所以

a(1)＋a(2)＋a(3)＋⋯⋯＋a(1999)＋a(2000)＝2014

==> a(1)＋a(2)＋a(3)－a(1)－a(2)－a(3)＋⋯⋯＋a(1)＋a(2)＝2014

==> a(1)＋a(2)＝2014

==> x＋y＝2014 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (一式)

a(1)＋a(2)＋a(3)＋⋯⋯＋a(2011)＋a(2012)＋a(2013)＋a(2014)＝2000

==> a(1)＋a(2)＋a(3)－a(1)－a(2)－a(3)＋⋯⋯＋a(1)＋a(2)＋a(3)－a(1)＝2000

==> a(2)＋a(3)＝2000

==> y＋(y－x)＝2000

==> 2y－x＝2000 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (二式)

(一式)＋(二式) 得 3y＝4014，即 y＝1338

代入 (一式) 得 x＝676

所以

a(1)＋a(2)＋a(3)＋⋯⋯＋a(2011)＋a(2012)＋a(2013)＋a(2014)＋a(2015)

＝a(1)＋a(2)＋a(3)－a(1)－a(2)－a(3)＋⋯⋯＋a(1)＋a(2)＋a(3)－a(1)－a(2)

＝a(3)

＝y－x

＝1338－676

＝662