奧數題目(三)

座標化解題

1.取 D 點為原點,於是 A、B、C 各點座標為

( 123/x , 0)、( x , 123/x )、( x , 0)。其中 x 不為零之實數。

2.因題意 ABE、ADF 面積為 23、45

故 E、F 點座標為 ( x , 77/x )、( 30x/41 , 0)

3.於是，CEF 面積=( 1/2 )( x-30x/41 )( 77/x ) = 847/82

4.所以，AEF面積=123 - 23 - 45 - 847/82 = 3663/82。

三角形ABE面積=(1/2)(AB)(BE)=23

(AB)(BE) =46

三角形ADF面積=(1/2)(AD)(DF)=45

(AD)(DF) =90

長方形ABCD面積=(AB)(BC)=(AD)(CD)=123

(AB)(BE) :(AB)(BC)=46 :123

BE:BC=46:123 =>BE=(46/123) (BC) => (CE)=(77/123)(BC)

(AD)(DF) :(AD)(CD)=90 :123 =30:41

DF:CD=30:41=>DF=(30/41) (CD) => (CF)=(11/41)(CD)

三角形CEF面積=(1/2)(CE)(CF)=(1/2)(77/123)(BC)(11/41)(CD)

=847/82

三角形AEF面積 =長方形面積-三角形ADF面積-三角形ABE面積-三角形CEF面積

=123-45-23-847/82

=3663/82