(1+x+x^2+....+x^18)^10

十九個球 0,1,2,3,...18 可重複取, 取10次

每次取出為 n1, n2, ... n10

=> n1+ n2+ ... +n10 = 15 之非負整數解

H(10,15) = C(24,15) 即為x^15的係數 (幸好原式係數皆為1)

2013-06-05 08:22:57 補充：

C(24,15) = C(24,9)

n = 24

2013-06-05 09:54:47 補充：

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n1, n2, ... n10 表示 (1+x+x^2+....+x^18)^10 的 ^10

例如 (1)^5 x (x)^3 x (x^6)^2 = x^15

n1~n5 = 0, n6~n8 = 1, n9~n10 = 6 是其中一種

2013-06-05 09:59:01 補充：

即 (x^0)^5 * (x^1)^3 * (x^6)^2 = x^15

有 5 個0次方, 3 個1次方, 2 個6次方 => 組合成 x^15

0+0+0+0+0+1+1+1+6+6 = 15

因此等效於 n1+ n2+ ... +n10 = 15 之非負整數解

2013-06-05 10:03:23 補充：

=================

> n1=15 , n2~~n10=0

> 這樣代表 什麼？

(x^15)^1 * (x^0)^9 = x^15

==========================

2013-06-05 10:08:04 補充：

首先

(1+x+x^2+....+x^18)^2

= 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + .... + 16x^15 + ..... + x^36

注意到 x^15 係數是 16

等效於 n1+ n2 = 15 之非負整數解 H(2,15) = 16

2013-06-05 10:11:37 補充：

==========

接著算

(1+x+x^2+....+x^18)^4

= [(1+x+x^2+....+x^18)^2]^2

= ( 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + .... + 16x^15 + ..... + x^36 )^2

注意到 x^15 係數是

1*16 + 2*15 + 3*14 + 4*13 + ...... + 15*2 + 16*1 = 816

等效於 n1+ n2 + n3 + n4 = 15 之非負整數解 H(4,15) = 816

2013-06-05 10:19:15 補充：

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

也就是

x^n1 * x^n2 * x^n3 * x^n4 = x^15

因為

(1+x+x^2+....+x^18)^4 =

(1+x+x^2+....+x^18)(1+x+x^2+....+x^18)(1+x+x^2+....+x^18)(1+x+x^2+....+x^18)

x^n1 來自第一式

x^n2 來自第二式

x^n3 來自第三式

x^n4 來自第四式

題目可以改為: 0~18ㄍ號碼各10個.取不同號碼組成sum=15.它有幾ㄍ組合法?

Ans:

0.0...(8ㄍ0).0.15

0.0...(8ㄍ0).1.14

0.0...(8ㄍ0).2.13

.................

0.0...(8ㄍ0).15.0 共16列

其他列類推

最後一行是固定的

它屬於重複組合所以解答可以寫作:

H(16,9)=C(16+9-1,9)=C(24,9)

做法不敢確定正確僅當參考