超難幾何問題 求比例

這題就是孟氏定理的運用，

由這個圖形與孟氏定理可以得到關係式:

(AE/EB)x(BC/CD)x(DF/FA)=1

(AE/EB)x(2/1)x(4/1)=1

(AE/EB)x8=1

(AE/EB)=1/8

所以AE:EB=1:8

選擇選項(C)

2012-11-30 14:50:58 補充：

比較三角形ACE與三角形BCE，

這兩個三角形的面積比，就是底邊AE與EB的比，

(因為兩個三角形的高一樣，都是C點到AB的垂直距離)

假設說AE:EB=a:b，則我們假設AE=ka、EB=kb

同理，連接F與B，

看三角形AFE與三角形BFE的面積比，

依然因為兩個三角形高相同(都是F到AB的垂直距離)

所以面積比AFE:BFE=(AE長度):(EB長度)

我們可假設AE=ta、EB=tb

而AFC=ACE-AFE、FBC=CEB-BFE

因此面積比AFC:FBC=(ka-ta):(kb-tb)=(k-t)a:(k-t)b=a:b

因此兩者面積比=a:b=AE:EB

Answer : (C) 1 : 8

2012-11-29 15:04:10 補充：

Join BF, as AF : FD = 1 : 4, and, BD : DC = 1 : 1, so,

let area of AFC = x sq. units, then, the area of FDC is 4x sq. units,

and the area of FBD is also 4x sq. units.

AE : EB

= area of AFC : area of FBC

= area of AFC : (area of FBD + area of FBC)

= x : (4x + 4x)

= 1 : 8

2012-11-29 21:41:46 補充：

Assume AE : EB = x : y, let area of AEF = ax, area of AEC = (ax + bx).

Then area of BEF = ay, and area of BEC = (ay + by)

Therefore, area of AFC : area of FBC = bx : by = x : y

孟氏：

AE/EB * BC/CD * DF/FA=1

AE/EB * 2/1 *4/1=1

AE/EB =1/8

2012-11-29 14:58:50 補充：

面積：

令 AFC面積=1 ,

FDC=4=FDB

因此 AFC / BFC = 1/(4+4)=1/8 = AE / EB