高中三角函數一題！請高手解惑！！

板大的構思如下:

4x^2+9y^2>= 2√(4x^2 *9y^2)=12xy=12/sinΘcosΘ=24/sin2Θ>=24(注意有2個>=符號)

至此沒錯，但:

"當sin2Θ=1最大時4x^2+9y^2有最小值24"

這裡錯了。因為當sin2Θ=1時，固然使右邊等號成立，但其對應的x,y卻不使左邊等號成立，所以4x^2+9y^2永遠不會=24(其要成立，必須兩個=均成立)，自然24不是其最小值(充其量只是個下界)。也就是，4x^2+9y^2>=24 並不是 "緊緻範圍"，雖然邏輯上此式正確(">="表大於"或"等於，即便等號永不成立)。我想這就是為何用算幾或柯西不等式時，最後要檢驗等號成立之條件是否合題意所求的原因(即使題目只求極值)。個人經驗:如果用上述不等式時，左及右式均不為常數而因此又用了一次以上不等號(如板大之方法)，除非剛好所有等號成立之條件相同，否則此法求不出極值(求不出緊緻範圍)，而須另闢他法。如本題棄算幾而就柯西，其使右式為常數。

板大可能被此題搞得很煩，分享一個故事:

31年前的大學聯考社會組數學計算題第一題: θ為正銳角，求(2/sinθ)+(3/cosθ)的最小值(占10分)。

這題當年數萬考生無人做出(依規定，社會組數學不可用微分)。有考生解法如下:

(2/sinθ)+(3/cosθ)>=2√(6/sinθcosθ)=2√(12/sin2θ)>=2√12=4√3...答

是不是與板大邏輯類似?錯在何處?是的，兩個">="不會同時成立等號，故4√3只是下界，不是緊緻範圍，所求永遠不等於4√3，是嗎?

如果當年題目為:θ為正銳角，求(1/sinθ)+(1/cosθ)的最小值。

這考生就得分了:

(1/sinθ)+(1/cosθ)>=2√(1/sinθcosθ)=2√(2/sin2θ)>=2√2...答

這裡，兩個">="同時成立等號，故2√2不只是下界，也是最小值。

2012-07-27 12:22:40 補充：

月下隱者大師的洞察力令我極度佩服!!!

最新的高中教材好像不提cot,sec,csc這3個三角函數了，不知為何。.

不然:

4x^2+9y^2=4csc^2 θ + 9sec^2 θ= 13+4cot^2 θ+ 9tan^2 θ>=...

2012-07-27 20:25:27 補充：

我想"算幾不等式"沒啥bug。

如果我說: x>2, y=3，則 x,y 大小關係為? 答曰: 不一定。

(a+b)/2 >= √ab 原意只是說正數a,b的算數平均不小於其幾何平均罷了，並沒說 "=" 成立時即(a+b)/2 的最小值。用它來求極值，只是將它的原意"巧妙應用"，如解: 面積固定S之矩形，最小周長為何? 令長，寬(變數)分別為a,b，(a+b)/2 >= √ab=√S=定值。各種可行的a,b放進來都>=某一定值，那麼有一組a,b可 = 該定值時，該組a,b得到的4√S自然就是最小值。算幾不等式原意只講大小關係，能求極值是種應用，在上例右式是定值為邏輯上此應用能成立之關鍵。

2012-07-27 20:26:49 補充：

今曰: 4x^2+9y^2>=12xy，當x=√13/2, y=√13/3 時，4x^2+9y^2至少也有26啊?

恐怕誤解了。x=√13/2,y=√13/3 是"="成立之時的x,y,其得到的4x^2+9y^2=26並非所有可行的x,y代入之最小者。就是說，別組x,y可在右式產生更小的12xy值，但"="卻不成立，那麼誰大誰小就不知道了。例如 x=√13/2,y=√13/3 使4x^2+9y^2=26，而x=√2,y=√2 使4x^2+9y^2>24，哪一組x,y產生的4x^2+9y^2較大呢?光這樣比不知道，因前者雖使"="成立，右式卻較大。以本例言，兩組x,y產生一樣的值。

感謝各位大大前輩及隔壁大大解說

您們的做法我看得懂

而且那是下界不是"緊密"值

非常感恩~人間處處有溫暖~

但有大大可以幫我解說補充2.嗎?

真的是陷入死胡同了，謝謝您們了！

2012-07-27 20:12:05 補充：

現在99課綱高二只有教sin . cos . tan

高三自然組再教後三個函數(社會組不教)

2012-07-28 09:02:28 補充：

感恩月下隱者大師不勝其煩

指導魯鈍的後學

我想我應該知道問題所在了

由衷感謝！！

用算幾不等式：可以這樣算

4x^2+9y^2=(4/sin^2 t + 9/cos^2 t)

=(4/sin^2 t + 9/cos^2 t)(sin^2 t + cos^2 t)

=4+9+4cot^2 t + 9tan^2 t

=13+4cot^2 t + 9tan^2 t

4cot^2 t + 9tan^2 t >= 12

13+4cot^2 t + 9tan^2 t >= 13+12=25

2012-07-27 01:54:30 補充：

也可直接算就好

(4x^2+9y^2)(1/x^2+1/y^2)=4+9+4(x/y)^2+9/(y/x)^2

4(x/y)^2+9/(y/x)^2 >= 12

4+9+4(x/y)^2+9/(y/x)^2 >= 25

2012-07-27 21:09:16 補充：

f(Θ)=4/sin^2Θ + 9/cos^2 Θ

g(Θ)=24/sin(2Θ)

由算幾不等式 知 不管 Θ = 多少 f(Θ)的圖形 永遠不會低於 g(Θ)

現在 知 g(Θ) 的最小值 = 24 但並不表示 f(Θ)的最小值也等於 24

除非，當 g(Θ)有最小值時，f(Θ)也是最小值。

但如果沒有，那從這個式子，我們無法得知，f(Θ)的最小值

2012-07-27 21:21:19 補充：

舉個例子，比如：

不管在什麼時候 哥哥的財產 都不少小於弟弟

而弟弟一輩子財產最少的時候 是民國 81年 的 5000元

但民國81年 哥哥剛好中 彩卷 500萬 鴻運當頭

那麼 請問哥哥 財產最少的時候 是多少？

2012-07-27 21:39:46 補充：

所謂的 26 代表 f(Θ)=g(Θ)=26 <== 但沒說這是f(Θ) 的最小值

所謂的 24 代表 g(45度)[g的最小值] =24

但沒說Θ=45的時候f(Θ) 的值最小值

所以 兩個值 都不能說它是 f(Θ) 的最小值

你與使用柯西不等式的回答者犯的錯誤都一樣

都是認為Θ=45度有最小值

不過你的比較嚴重

你的算法:

4x^2+9y^2≧ 2√(4x^2 *9y^2)=12xy=12/sinΘcosΘ=24/sin2Θ

取頭尾來看

4x^2+9y^2≧24/sin2Θ

你從這裡只能知道4x^2+9y^2≧24/sin2Θ

但你卻擅自認定sin2Θ=1

並反過來推4x^2+9y^2≧24

並且,你還認定為當sin2Θ=1最大時,4x^2+9y^2有最小值24

x與y都會受到Θ的影響,所以你只設法讓24/sin2Θ變最小

是無法求得4x^2+9y^2的最小值

你就是從這部分開始錯

問月下大師可能會知道!