一個有關質數P和P^2因數之問題

以下令 p ≥ 5 為質數。

【引理】 令 S = ∑_{k=1→(p-1)} {1/(k^2)}，則 S[(p-1)!]^2 ≡ 0 (mod p)。

【證明】顯然，S[(p-1)!]^2 為正整數。在 (mod p) 內作算術，可把 1/k〔k ≢ 0 (mod p)〕 看成在 Z_p 內 k 的逆元，則 {1/1, 1/2, ..., 1/(p-1)} 與 {1, 2, ..., (p-1)} 是一一對應的兩個集合。再由 Wilson 定理：

S[(p-1)!]^2

≡ {(-1)^2}{1^2 + 2^2 + ... + (p-1)^2}

≡ (p-1)p(2p-1)/6

≡ 0 (mod p)。最後一行是因為 p ≥ 5 為質數，故 p 與 6 互質。//

【題目中之命題證明】

q = [(p-1)!]{1 + (1/2) + (1/3) + ... + [1/(p-1)]}，可得

2q = [(p-1)!][∑_{k=1→(p-1)} (1/k) + {1/(p-k)}]

= [(p-1)!][∑_{k=1→(p-1)} {p/(k)(p-k)}]

= p[∑_{k=1→(p-1)} {(p-1)!/[(k)(p-k)]}]

= pt，

其中我們定義了

t = ∑_{k=1→(p-1)} {(p-1)!/[(k)(p-k)]}。

觀察對所有 1≤k≤(p-1)，(p-1)!/[(k)(p-k)] 為正整數，故 t 為正整數。

今有 p 與 2 互質，所以 p|q。現在只要證明 p|t 就行了。

在 (mod p) 內作算術，並由引理：

t[(p-1)!]

≡ {[(p-1)!]^2}[∑_{k=1→(p-1)} {-1/(k^2)}]

≡ 0 (mod p)。

由 p 與 (p-1)! 互質，可得 p|t。命題得證。//