二數互質概率

任抽二個不能被6整除的整數, 易知

它能被 2 整除的概率是 2/5 ,

它能被 3 整除的概率是 1/5 ,

它能被質數 P > 3 整除的概率是 1/P 。

所求概率為P(兩數不同被 2 整除) x P(兩數不同被 3 整除)

x P(兩數不同被 5 整除) x P(兩數不同被 7 整除) x P(兩數不同被 11 整除)

x P(兩數不同被 13 整除) x P(兩數不同被 17 整除) x ......= (1 - (2/5)²) (1 - (1/5)²)

x (1 - (1/5)²) (1 - (1/7)²) (1 - (1/11)²) (1 - (1/13)²) (1 - (1/17)²) x ......= (1 - (2/5)²) (1 - (1/5)²)

x (6/π²) / (1 - (1/2)²) (1 - (1/3)²)

= 4536 / (625π²)

≈ 73.535 %

2011-08-25 19:28:00 補充：

修正 :

任抽二個不能被6整除的整數, 易知

它能被 2 或 3 整除的概率是 3/5 ,

它能被質數 P > 3 整除的概率是 1/P 。

設所求概率為 M , 則

P(兩數互質) = P(抽到非6倍數 及 6倍數且互質) + P(抽到兩個非6倍數且互質)

2011-08-25 19:28:06 補充：

6 / π²

= 2 (5/6) (1/6) * (1 - 3/5) (1 - (1/5)²) (1 - (1/7)²) (1 - (1/11)²) (1 - (1/13)²) (1 - (1/17)²) x ...

+ (5/6) (5/6) M

= 2 (5/6) (1/6) * (1 - 3/5) (6/π²) / [(1 - (1/2)²) (1 - (1/3)²)] + (5/6) (5/6) M

M = 36 / (5π²) ≈ 72.95%

請再詳細分析....

2011-08-27 17:59:29 補充：

同時不被2及3整除=1 - (2/5)^2 - (1/5)^2 = 4/5 就可以了