limit與積分

由於 integrand 是 even, nonnegative function, 因此除非極限值是 0,

否則 t>0 與 t<0 將產生一正一負的不同結果. 也就是說: 雙邊極限將

不存在.

只考慮 t>0 (考慮右邊極限).

做個變數代換: u=t-x, 則

∫_0^t dx/√(cos(x)-cos(t)) = ∫_0^t du/√cos(t-u)-cos(t))

cos(t-u) = cos(t)+u sin(t) - u^2 cos(t)/2 - u^3 sin(t)/6 + u^4 cos(t)/24 + ...

故

cos(t-u) - cos(t) = [u sin(t) - u^2 cos(t)/2]．[1-(u^2/6)+u^3 cot(t)/24 + O(u^4)]

= (cos(t)/2)[(tan(t))^2-(u-tan(t))^2].(1-u^2/6+u^3 cot(t)/24+O(u^4))

當 t 夠小時, 1-u^2/6+u^3 cot(t)/24+O(u^4) ≒ 1, 或更明確地說,

1 ≦ 1/√(1-u^2/6+u^3 cot(t)/24+O(u^4)) ≦ 1/√(1-t^2) → 1 當 t→0.

因此,

lim ∫_0^t dx/√(cos(x)-cos(t)) = lim ∫_0^t du/√{(cos(t)/2)[(tan(t))^2-(u-tan(t))^2]}

= lim √(2/cos(t))．{arc sin(t/tan(t)-1) - arc sin(-1)} = √2．(π/2) = π/√2.

x介於0, t之間, t趨近於0, 定義域有問題嗎?

2011-04-26 19:50:26 補充：

這題沒這麼麻煩啦!(故只給5點)

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpa...

參考資料：

my maths knowledge

Pi/ 2^0.5

對吧?

f(x)=1/√(cosx-cost) 定義域?