代數問題(6)，數學達人請進。

Question

代數問題(6)，數學達人請進。

（1）請用 square method 來解答以下的方程式：
3w^2 - 2w - 1 = 0

說明：w^2 即 w的2次方。

（2）請用 quadratic formula 來解答以下的方程式：
3y^2 + 11 = 5y

說明：y^2 即 y 的2次方。
    
備註：本人會親自揀選最佳答案，準則為演算清楚，讓數學盲也能一看明白，若輔以英文或中文的講解則更佳 。

An ESL Learner · Accepted Answer

1)
3w^2 - 2w - 1 = 0
(3w^2 - 2w - 1)/3 = 0/3 ...... [消除 w^2 的 3 方便化平方] 
w^2 - 2w/3 - 1/3 = 0
w^2 - 2w/3 = 1/3
w^2 - w/3 - w/3 = 1/3
w^2 - w/3 - w/3 + (1^2)/(3^2) = 1/3 + (1^2)/(3^2)
(w^2 - w/3) - (w/3 - 1/9) = 3/9 + 1/9
w(w - 1/3) - 1/3(w - 1/3) = 4/9
(w - 1/3)(w - 1/3) = 4/9
(w - 1/3)^2 = (2/3)^2 ...... [兩邊化成平方，再開方降低 w 的冪] 
w - 1/3 = ±√[(2/3)^2]
w - 1/3 = ±2/3
w = ±2/3 + 1/3
w = 1 or -1/3
___________________________
 
2)
3y^2 + 11 = 5y
3y^2 - 5y + 11 = 0

y = [-b ± √(b^2 - 4ac)]/(2a) ...... [quadratic formula]

a = 3, b = -5 and c = 11

將 3, -5 和 11 分別代入至 a, b 和 c，可得：
y = [5 ± √(25 - 132)]/6
y = [5 ± √(-107)]/6
y = [5 ± i√107]/6 ...... [i = √(-1)]

y 的實數解：無
y 的複數解：[5 ± i√107]/6 ...... [0.833333 - 1.72401i or 0.833333 + 1.72401i]

資料來源：
(虛數單位 - Wikipedia)
http://zh.wikipedia.org/zh/%E8%99%9B%E6%95%B8%E5%96%AE%E4%BD%8D

(3y^2 + 11 = 5y - Wolfram∣Alpha)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=3y^2+%2B+11+%3D+5y

2010-09-06 17:44:36 補充：
補充：
複數是由虛數單位 (i) 構成的數，格式通常為 a ± bi，其中 a 和 b 是實數。

2010-09-06 18:06:23 補充：
補充：
我不肯定你明不明白第一題由 (不連題號的) 第 5 到第 10 行的證明步驟。無論如何，我試試解釋一下。

(a - b)^2 
= (a - b)(a - b)
= a(a - b) - b(a - b) 
= a^2 - ab - ab + b^2
= a^2 - 2ab + b^2

那六個步驟其實大概就是 (a - b)^2 = ... = a^2 - 2ab + b^2 的逆步驟。計算的方式其實就是意圖將 a^2 - ab - ab + b^2 化成 (a - b)^2 並開方化簡。

2010-09-06 18:10:10 補充：
補充 (續)：
(1^2)/(3^2) 的作用其實就是 a^2 - ab - ab + b^2 中的 b^2。原本數式中沒有這個數，因此就需要加上 (1^2)/(3^2) 才能化成平方。

alan · Answer

1.3w^2 -2w - 1 = 0 
   3(w^2-2/3w)=1
   w^2-2/3w=1/3
   w^2-2/3w+(2/6)^2=1/3+(2/6)^2
   (w-2/6)^2=4/9
   w-2/6= +/- (2/3)
   w=1 OR w=-1/3

2.3y^2 + 11 = 5y
   3y^2-5y+11=0
    y=[(-b)+/- √(b^2-4ac)]/2a
    y=[5+/- √(-107) ]/6
 so,it has no real roots

代數問題(6)，數學達人請進。

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