高中多項式問題

f(x)=(x^3+ax^2+11x+6)/(x^3+bx^2+14x+8)

若f(x)可化簡,化簡後分子為一次式,則(a,b)=?

Sol:可化簡，化簡後分子為一次式

表示分子與分母之最高公因式為二次式，令最高公因式為d(x)

則d(x) l x^3+ax^2+11x+6

d(x) l x^3+bx^2+14x+8

所以d(x) l (a-b)x^2-3x-2

吾人知(a-b)x^2-3x-2為兩者之公因式

又d(x) l 4(x^3+ax^2+11x+6)-3(x^3+bx^2+14x+8)

d(x) l x^3+( 4a -3b)x^2+2x

因d(x)為二次式，故d(x) l x^2+( 4a -3b)x+2

所以x^2+( 4a -3b)x+2亦為兩者之公因式

故-[(a-b)x^2-3x-2]=x^2+( 4a -3b)x+2

b-a=1

4a-3b=3

解得(a，b)=(6，7)

算錯請指正

令g(x)=(x^3+ax^2+11x+6),k(x)=(x^3+bx^2+14x+8)

所以化簡一次是表示他們兩個多項式各有因式

即d(x)

得 d(x)| g(x) - k(x)

d(x) | (a-b)x^2-3x-2..............(1)

d(x)|4g(x) - 3k(x)

d(x)|x^3 + (4a-3b)x^2 + 2x = x(x^2+[4a-3b]x+2)

因x不為d(x)的因式

所以

d(x)|x^2+[4a-3b]x+2...............(2)

(1)(2)作係數比較

所以得知 a-b=1.........(3)

4a-3b= -3...................(4)

(4)-(3)*3 a=-6

b=-7

所以數對(a，b)=(-6，-7)