求Improper積分值

1. Beta(x, y)=2∫[0~pi/2] (sint)^(2x-1)*(cost)^(2y-1) dt

x, y為正數

2. Beta(x, y)= Gamma(x)Gamma(y)/Gamma(x+y)

3. Gamma(x)Gamma(1-x)= pi/ sin(pi*x)

4.用三角代換法 x=(tanu)^(2/n), dx=(2/n)(tanu)^(2/n -1)*(secu)^2 du

∫[0~∞] dx/(x^n + 1)

=∫[0~pi/2] (2/n)(sinu/cosu)^(2/n-1) du

= (1/n)*2∫[0~∞] (sinu)^(2/n -1) *(cosu)^(1-2/n) du

2x-1= 2/n -1, 得 x= 1/n

2y-1= 1-2/n, 得 y=1-1/n

= (1/n)*Beta(1/n, 1-1/n) (公式1)

= (1/n)*Gamma(1/n)Gamma(1- 1/n)/Gamma(1) (公式2)

= (1/n)* pi/ sin(pi/n) (公式3)

= (pi/n) / sin(pi/n) (對任意 n>0都可以)

請問如何不用複變呢？願聞其詳。

複變Residue是較常用方法, 其實不用複變也可以求得!

2009-08-14 17:04:41 補充：

可用Beta function及 Gamma function性質求之!

2009-08-20 00:55:26 補充：

Very nice!我替天助補充一下:

1. B(x,y)=∫[0~1] u^(x-1)(1-u)^(y-1) du , for x, y>0

令 u=(sinθ)^2, 得 B(x,y)=2∫[0,π/2] (sinθ)^(2x-1)(cosθ)^(2y-1) dθ

2. 天助答案最後一個積分式筆誤, 應是∫[0~π/2] ..., 不是∫[0~∞] ...

2009-08-20 00:58:52 補充：

To:天助

很少看到您作答,多作一些吧! 加油!

用複變做嗎?