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About Taylor Series
請幫我看看以下問題的請幫我看看以下問題的error bound的值是什麼，並請附上您的作法，我算的答案是2.821869489乘以十的負十四次方，答案是8.888...乘以十的負八次方。
Estimate cos (0.2) using a fourth degree Taylor polynomial about a = 0 and find the error bound.
2 個解答
- ?Lv 71 十年前最愛解答
因為 cos 的展開是一個交錯級數所以誤差項是下一項的絕對值
cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/6! + ...
所以誤差 <= (0.2)^6 / 6! = 8.888...*10^ (-8)
2009-05-02 12:37:16 補充：
fourth degree 的意思是到 x^4 項 不是全部取四項 !!
2009-05-02 12:52:40 補充：
若是用 Taylor Theorem 本來應該取 (0.2)^5/5! (x^5 項的誤差項)
但是因為本題本身是一個交錯級數
所以可以用交錯級數的誤差來做
那個誤差會比用 Taylor Theorem 取的誤差小
所以用交錯級數的誤差來做比較好
2009-05-02 13:05:33 補充：
cos x 在 x = 0 的泰勒級數是
cos x = 1 - x^2/2 + x^4/4! - x^6/6! + x^8/8! + ...
所以我們知道
cos 0.2 = 1 - (0.2)^2/2 + (0.2)^4/4! - (0.2)^6/6! + (0.2)^8/8! + ...
因此若用 cos x 在 x = 0 的四次泰勒多項式來估計得到
cos 0.2 ≒1 - (0.2)^2/2 + (0.2)^4/4!
因為我們知道
cos 0.2 = 1 - (0.2)^2/2 + (0.2)^4/4! - (0.2)^6/6! + (0.2)^8/8! + ...
是一個交錯級數，所以若用 1 - (0.2)^2/2 + (0.2)^4/4! 來估計 cos 0.2
得到誤差一定會小於 (0.2)^6/6! = 8.888...*10^(-8)
當然也可以用泰勒定理知道
| cos 0.2 - (1 - (0.2)^2/2 + (0.2)^4/4!) |
<= | - sin C | * (0.2)^5 / 5!
<= (0.2)^5/5!
= 2.666... * 10^(-6)
但是因為我們用交錯級數所得的誤差比用泰勒定理所得的誤差小
所以我們會用交錯級數所得的誤差來表示會比較好
(其實你可以算看看 cos x 的四次泰勒多項式與五次泰勒多項式是一樣的，因此可以用六次來估計誤差，如此就會跟交錯級數所估計出來的誤差是一樣的了)
- 1 十年前
非常感謝您的回答，我還有一些問題：
誤差項是取x^4的絕對值呢？還是x^5的？我讀的教材是說取到我們在算估計值的最後一項在後面的那個次方項的那個數的絕對值，是這個定義錯了嗎？
謝謝！
2009-05-02 12:54:52 補充：
我已經了解了，非常謝謝你！
2009-05-02 12:56:17 補充：
嗯...我想給你點數，要怎麼給呢？
