有趣的骰子問題

用了生成函數的方法,得出

會六個面都至少出現一次的機會是:

P(x) = [ (6^x) - 6(5^x) + 15(4^x) - 20(3^x) + 15(2^x) - 6 ]/(6^x)

x 是擲骰子的次數

宜家我們要找x的取值使得P(x) => 8/9

這一個不等式我沒有能力去解,但我用了winplot,

得到 x > 21.7716 , 即是至少22次才能肯定有8/9的概率會六個面都出現

2009-02-28 13:38:04 補充：

該函數是展開式

( u/1! + u^2/2! + u^3/3! + ...............)^6 中 x次方 的系數

因為其中一面出現的次數只要少於 x 便行

而( u/1! + u^2/2! + u^3/3! + ...............)有無限個term都不會影到真正的系數(展式中沒有u的負數次方)

2009-02-28 13:38:08 補充：

( u/1! + u^2/2! + u^3/3! + ...............) = e^u - 1 <=>

( u/1! + u^2/2! + u^3/3! + ...............)^6 =

e(6u) - 6e(5u) + 15e(4u) - 20e(3u) + 15e(2u) - 6e(u) +1

得到x次方的系數 [ (6^x) - 6(5^x) + 15(4^x) - 20(3^x) + 15(2^x) - 6 ]

2009-02-28 13:43:37 補充：

lim(x->oo) P(x) = 1 ,即使該事件必然會發生,但要擲無限次= ="

2009-02-28 13:45:18 補充：

應該要補充一點,正確的不等式應P(x)>= 8/9 and x>=6

2009-02-28 13:53:39 補充：

有些地方出錯了, P(x) 的分子是 x 次方 的系數 * x!

怎麼錯得這樣離譜

其實用inclusion-exclusion principle，很容易列出需要的不等式，不過最後一步應該要用計數機或電腦才能解到。我以前用的計數機都壞了，電腦又不在行所以不計了。

算式是：

1- 6(5/6)^n + 15(4/6)^n - 20(3/6)^n + 15(2/6)^n - 6(1/6)^n => 8/9

首先,成功擲到六個面的概率=(5/6)(4/6)(3/6)(2/6)(1/6)----(因為每面擲到的概率均等)上述以是最快擲到六個面的概率

另外,不成功擲到六個面的概率=(5/6)^n,n為不成功擲到的次數

當n趨近&infin;時,(5/6)^n趨近0,則(5/6)^n不斷减少

即至少要擲的次數為=(5/6)(4/6)(3/6)(2/6)(1/6)(5/6)^n＜＝5/324

因為5/324＜8/9

所以至少要擲多少次才能肯定有8/9的概率會六個面都出現的命題是不成立

2009-02-28 10:54:56 補充：

8/9的概率是冇可能

2009-02-28 10:56:59 補充：

當n趨近無限大時,(5/6)^n趨近0,(5/6)^n不斷减少