方程~~~

Question

有沒有人知道......三次方程...四次方程.....五次方程......六次方程....的公式??唔要估數既方法...

myisland8132 · Accepted Answer

三次方程,四次方程有公式﹐五次方程或以上沒有公式
三次方程
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/6/7/067f8951d4fbd4d8401eee7a3a26f135.png


把原來方程除以首項係數a (
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/f/4/df44347863ac17dc898a13f44f681d01.png
)，得到：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/d/b/edba1d0732f9c34923658c6b94d199d6.png
。 

代換未知項
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/7/7/277b2d1a9e75598ed1dd24a77f334ea0.png
。故得:

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/b/5/eb5067c1df2180e71bf154ef1000a047.png
，其中p和q是域中的數字。 

來一妙著：記
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/5/5/e55d94c198dbf390b22c776448e2c22d.png
。 



展開：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/a/c/0ac81364bad4183a48f80f707ce682b1.png
。 
重組：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/b/1/ab1ec218861f3b22cab5e326cbc80245.png
。 
分解：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/f/d/8fdf44e1c11b71e3b486803e10e357b5.png
。 
因為多了一個未知項（
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/7/6/77698ae92ac0435f8da1e266eeb528e3.png
），所以可加入一個條件，就是：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/8/6/6865b500a90b0baf0c3c33c55741d8d6.png
。 

設
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/2/8/0281603a15f0735e68981af227bde9c5.png
的根，這方程我們已會解出。 
接下來，
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/7/b/87b8bf04d95e5993d17cca40efc9ea5c.png
。
在域
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/f/e/bfeb545600e3abbc7b84353936b388f1.png
是單位的立方根。
因為乘積
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/1/7/617acff074253977d7c5bad1f6f4ded3.png
。
 
四次方程
費拉里方法的概要
Given the quartic equation

Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0, 
its solution can be found by means of the following calculations:

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/e/6/3e69e9d56fa48e7000d3d4150935f5a8.png

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/d/d/3ddd5c15973d9f607de2e272edfb9c86.png

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/4/6/246c4bb2fd106743065fa3a11b954417.png
 

if β = 0 solve u4 + αu2 + γ = 0 and substitute 
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/e/f/defeba6231ee8f8e8300ef7401a1ad78.png
 finding the roots

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/b/3/bb35f189ff7741c45ff499cbfc69011c.png
.

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/e/e/8eeb6f45848bed2ff34a1aaea5119e0d.png

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/6/f/96f37806d962579090c944354217e994.png

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/5/e/45e239636481f4d3d1e463065c47096f.png
, (either sign of the square root will do)

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/0/0/90034f31688ee818ff7c9ef96f161e26.png
, (there are 3 complex roots, any one of them will do)

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/5/c/65ca5fbaaabb849db478e18dc5ea73e9.png

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/b/7/4b79eba386687575cf2416a973ba9ca0.png
 

The two ±s must have the same sign, the ±t is independent. To get all roots, find x for ±s,±t = +,+ and for +,− and for −,+ and for −,−. Double roots will be given twice, triple roots 3 times and quadruple roots would be given 4 times (although then β = 0, which is a special case). The order of the roots depends on which cubic root U one chose. (see note for (8) vis-à-vis (8'))

方程~~~

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