虛數如何開平方根? 設 z = x+yi, 則 √z = ? √z 的意思在這裡是 (√z)^2 = z. 沒發問過, 不知能不能自問自答? 會不會被判違規? 這裡想提出這問題並且考慮自問自答. 只因先前與一位網友在某問題之意見欄討論問題時涉及上述虛數平方根公式.?

在 wiki 百科已有該公式, 但沒說明公式由來. 公式是:

  √z = √[(|z|+Re(z))/2] + sgn(Im(z))√[(|z|-Re(z))/2] i

式中, Re(z), Im(z) 分別是 z 的實部與虛部, sgn(．) 

是符號函數, 代表正負或 0, i =√(-1) 是虛數單位.

網路上可以找到 √i 及涉及 i 的乘冪, 三角函數及積分

的影片(視頻). 這裡 √z 的解法基本上和 √i 的解法沒

有差別.

設 z = x + yi, √z = a + bi.

則 (√z)^2 = z 表示:

     a^2 - b^2 = x,  2ab = y.

由後式得 b = y/(2a), 代入前式, 得

     a^2 - y^2/(2a)^2 = x.

即

    (a^2)^2 - x(a^2) - y^2/4 = 0

因 a 實實數, 在上列關於 a^2 的方程式只能取正根:

    a^2 = [x+√(x^2+y^2)]/2

故

    a = ±√{[x+√(x^2+y^2)]/2}

若 y = 0, 即 z 是實數, 則上式得 0 或 ±√x,

前者發生在 z = 0 或 x < 0 (y=0), 後者發生在 z=x > 0.

若 z = x < 0, 只能由 a^2 - b^2 = x 得 b = ±√(-x).

此時 2ab = y 因 y = 0 且 a = 0 變成不存在.

假設 y≠0. a 取正根, 則

    b = y/(2a) = y/√{2[x+√(x^2+y^2)]}

       = y√[√(x^2+y^2)-x] /√{2[(x^2+y^2)-x^2]}

       = y√[√(x^2+y^2)-x] /√(2y^2)

       = (y/|y|)√{[√(x^2+y^2)-x]/2}

也就是 z = x + yi, 則

   √z = √{[√(x^2+y^2)+x]/2} + sgn(y)√{[√(x^2+y^2)-x]/2}  i

        = √[(|z|+Re(z))/2] + sgn(Im(z))√[(|z|-Re(z))/2] i

若在上面 a 取負根, 則得

    b = -(y/|y|)√{[√(x^2+y^2)-x]/2}

當複數 (此處重點放在虛數, 即 y≠0) 以極式表示,

    z = |z|(cosθ + i sinθ), θ 取在 [0,2π).

則 

    √z = √|z| (cos(θ/2) + sin(θ/2) i)

因 cos(θ) = x/|z|, sin(θ) = y/|z|, 而

   cos(θ/2) = sgn(sinθ) √[(1+cosθ)/2]

                 = sgn(y) √[(1+x/|z|)/2] 

   sin(θ/2) = √[(1-cosθ)/2] = √[(1-x/|z|)/2] 

所以

  √z = √|z| {sgn(y) √[(1+x/|z|)/2]  + √[(1-x/|z|)/2] i }

        = sgn(Im(z))√[(|z|+Re(z))/2] + √[(z|-Re(z))/2] i

與前述

  √z = √{[√(x^2+y^2)+x]/2} + sgn(y)√{[√(x^2+y^2)-x]/2} i

        = √[(|z|+Re(z))/2] + sgn(Im(z))√[(|z|-Re(z))/2] i

相比, 後者√z 之實部是取正根, 前者(極式公式)是 √z

虛部取正根. 若 z 之虛部為非負, 則兩者相同; 若 z 之

虛部為負, 則兩者不同. 但這兩者之不同僅在 z 之兩

平方根以何者為主根而已.