limit (x→0+) (sinx)^x?

Question：

lim(x→0⁺) sinˣx

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Soultion：

lim(x→0⁺) sinˣx

= lim(x→0⁺) (sin x)ˣ

= e^[ ln lim(x→0⁺) (sin x)ˣ ]

= e^[ lim(x→0⁺) x ln(sin x) ]

= e^{ lim(x→0⁺) ln(sin x) / (1/x) } ...... [ - ∞/∞ ]

= e^{ lim(x→0⁺) [(cos x)/(sin x)] / (-1/x²) } ...... [ Using L'Hôpital's rule ]

= e^[ - lim(x→0⁺) (x cos x) (x / sin x) ]

（ As x→0⁺, lim (x / sin x) = 1 ）

= e^[ - (0) (1) ]

= 1

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L'Hôpital's rule ( 羅必達法則 )

If lim(x→c) f(x) = lim(x→c) g(x) = 0 or ±∞ and g'(x) ≠ 0,

then lim(x→c) f(x) / g(x) = L

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　20160707

相片：

我們發生某些問題，請再試一次。