利用積分求平均

Question

在一個某個區間中函數連續

要求(A，B)之間的平均值(A，B)在區間中
則

(1/(B-A))*(Integration(B，A)f(x)dx)  Integration(B，A)為積分A到B


但萬一B為無窮                   此時的 Integration(B，A)f(x)dx 能是有值的
那上式分母將也會是無窮
該如何處裡

能的話也舉個例子

謝謝

? · Accepted Answer

但萬一B為無窮該如何處裡

理論上可以這樣處理:
f 在(A,inf)之平均值,fave,:=limit (B-->infinity) {(1/(B-A))*(Integration(B，A)f(x)dx)}. 若有必要，使用L'o^pital's Rule. 例子:  let A=1, (i)  f(x)=5,==> fave=5 (ii) f(x)=1/x, ==>fave=0, (iii) f(x)=lnx, ==>fave=infinity.
然而實際上可以應用的地方有限。

老怪物 · Answer

要計算 f(x) 在無窮範圍的平均, 只有 ∫_[a,∞) f(x) dx 發散到無窮才有意義.

若 lim_{x→∞} f(x) 存在, 則 lim_{b→∞} ∫_[a,b] f(x) dx/(b-a) 等於該極限值.

因此, 比較能引起興趣的應是 f(x) 當 x→∞ 時是波動的而無極限, 但 
 lim_{b→∞} ∫_[a,b] f(x) dx/(b-a) 又存在.

利用積分求平均

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