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一個傅立葉級數的矛盾
圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AD01409451/o/1431821521.jpg
兩邊同時微分之後，變成 :
圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AD01409451/o/1637677809.jpg
這個式子對嗎?
To Tsai :
那個解說我看不太懂ㄟ...
為什麼Dirac delta function可以表示成這樣?
δ(x) = lim ( ( 1 / 2π )*( (sin((n + (1 / 2))x)) / (sin(x / 2)) ) ) n → ∞
還有，" This function has jump discontinuities at the points x = ..... "，
這是不是就是你說的 "原函數的邊界為不連續點" ?
跟邊界有什麼關係? 我的函數是定義在 - π < x < π 這個範圍之內的啊!
To 教書的 :
你有沾到邊，可是好像沒有說到精髓...
f(x)和F(x)有何不同?
F(x)怎麼會無限可微? F(x)的導函數是 :
cosx - cos(2x) + cos(3x) - cos(4x) + .....
這應該是不收斂的吧? 而 " f(x) is discontinuous at n pi for all n "，
超過範圍的我們就不要管它，只管 - π < x < π 這個範圍就好。
嗯~ 我想我有點明白了!
Let FN(x) = Σ sin(kx) / k , k from 1 to N .
In fact f(x) is lim FN(x) N → ∞ = lim Σ sin(kx) / k , k from 1 to N N → ∞ .
在這裡極限跟微分不能互換 :
lim ( d FN(x) / d x ) N → ∞ ≠ d ( lim FN(x) ) / d x N → ∞
不過這也延伸出一個問題 : 什麼時候極限跟微分可以互換?
還有，「當延拓至整個實數線上時就看出差別了」，
這句話我不太明白，你可不可以針對這一點再多做一些說明?
要怎麼延拓到整個實數?
在這裡我想要再額外問一個問題，與這題有點相關，
有一種「處處連續，卻處處不可微」的函數，
這裡的F(x)能不能算其中一個?
8 個解答
- ?Lv 67 年前最愛解答
f(x)=x/2 , -pi <x < pi 的確擁有 F(x)=sinx -sin(2x)/2 +sin(3x)/3+-....作為其傅氏級數展開於該區間. 然而畢竟 f(x) and F(x) 是兩個不同的函數: (i) 延拓至所有實數 periodically, F(x) is C (infinite), 無限可微; f(x) is discontinuous at n pi for all n. (ii) 傅氏級數定裡只保證 F(x)--->f(x) 的收斂性是"in the mean"sense, not point-wise ( 逐點性). 當然要求 f'(x)=F'(x)是會成為奢望. 其實一開始表成 f(x)~F(x) 就無此矛盾之煩惱.
討論中版主提到 McLaurin series.該情況略有不同. f(x) 必須是 C (infinite), 無限可微才可談及其 Taylor or McLaurin series. 於是當 f(x)~T(x) (at x=a 附近)時, (該收斂是逐點性的) f' '(x)~T '(x) 是被 Taylor theorem 保證的.
2014-04-29 21:12:10 補充：
超過範圍的我們就不要管它，只管 - π < x < π 這個範圍就好
這是大家忽略不連續點的原因. 當延拓至整個實數線上時就看出差別了.
FN(x) ( finite sum of Fourier series of f) are infinitely differentiable for any N; The question: FN --->f as n goes to infinity depends on f. Gibb's phenomenon addresses the convergence of FN at discontinuities of f.
2014-04-29 21:26:25 補充：
有沾到邊，可是好像沒有說到精髓
如果 f(x)~[S(x)], a convergent series on -pi < x< pi. 那麼 f'(x) ~ S'(x), 且保證 S'(x), S"(x),... convergent on -pi < x< pi. 這裡 convergence means lim {f -Sn} ---> 0 as n --->inf at any x, -pi < x< pi (逐點收斂). 只可惜此題之 f(x) and F(x) 不符合這條件.
- ?Lv 57 年前
傅立葉級數只保證converge in mean sense, 並不能保證converge pointwise, 甚至是converge uniformly. 要保證pointwise甚至uniformly需要更多與原函數相關的條件, 例如Dirichlet-Jordan theorem, Fejer's theorem.
- LopezLv 77 年前
把問題簡化:
x = x^2
求 x = ?
Sol 1. 直接解方程式
x^2 - x = 0
x ( x - 1 ) = 0
x = 0 或 1
Sol 2. 仿照版主作法
x = x^2
等式兩邊同時微分之後,變成
1 = 2x
x = 1/2
結果變成 paradox ...
2014-04-27 21:38:06 補充：
版主,你已經答對自己所提出的問題了.
"兩個函數在某一點的函數值相同,不代表它們在那一點的切線斜率就相同"
所以你解題的步驟
"兩邊同時微分之後,變成"
這個步驟是錯的.
也就是那個等式只代表等式兩邊的"函數值"相等,
不代表"函數"相等,
自然也不能用兩邊同時微分.
這題可以結案了!!
2014-04-27 22:21:21 補充：
抱歉,還不能結案.....
2014-04-27 22:33:59 補充：
另一個觀點:
馬克勞林級數,等式兩邊微分後,兩邊都還是變量.
這題兩邊微分後,左邊是常數1/2,右邊是變量,
常數 ≡ 變量 ,這樣不對吧??
- ?Lv 57 年前
這麼明顯看不出來嗎?
上面的式子是對的，
可是下面的式子，cos(nx)不趨近於0，
所以應該不會收斂才對，可是左邊卻收斂到1/2
2014-04-27 16:53:33 補充：
嗯? 你的程度應該也不錯，怎麼會問這種問題?
我不知道你的f(x)指的是上面還下面的式子，
但根據微積分的 "基本常識" :
If f(x) = c , c constant , then f ' (x) = 0.
重點在於 "兩個函數若相等，則它們的微分也相等"，
可是這一題並不是，我想知道為什麼。
2014-04-27 21:26:28 補充：
兩個函數在某一點的函數值相同，
不代表它們在那一點的切線斜率就相同，
不然為什麼求馬克勞林級數時就可以這樣做?
例如 :
sinx = (x / 1!) - (x^3 / 3!) + (x^5 / 5!) - (x^7 / 7!) + .....
兩邊微分 :
cosx = 1 - (x^2 / 2!) + (x^4 / 4!) - (x^6 / 6!) + .....
2014-04-27 21:26:41 補充：
又例如 :
1 / (1 + t) = 1 - t + t^2 - t^3 + .....
兩邊同時取 0 ~ x 的積分 :
ln(1 + x) = (x / 1) - (x^2 / 2) + (x^3 / 3) - (x^4 / 4) + .....
2014-04-27 21:43:33 補充：
Oh , no , no , no ...
這一題沒那麼簡單!
那你怎麼解釋馬克勞林級數的現象?
而且，我的函數不是只有在某一點的函數值相同而已，
而是在範圍之內每一個點的函數值都相同!
