一題無窮級數 Σ 1 / (1 + n^2) [n] 的證明

你懂得complex number contour integration嗎？

2014-04-13 09:01:34 補充：

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圖片參考：https://s.yimg.com/rk/HA05107138/o/761604527.png

另外解法見：

https://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?q...

Method1: Find the Fourier series for cosh(ax), |x| < = pi and then let a= pi.

Method2: Evaluate the contour integral of cot(pi x)/(x^2 +1) for the square with 4 vertices +/- (n+0.5)(1 +/- i) and let n approach to infinity.

明明就收斂啊!

為什麼會發散?

2014-04-06 16:51:36 補充：

你說複數平面的路徑積分嗎?

這部分我似懂非懂，

不過如果你想要用這個方法來證明，

我想我應該是勉強ok的!

自由自在大大，

你有興趣挑戰一下嗎? XD

另外，這一題如果用傅立葉級數的話，

不知道可不可以證明得出來?

2014-04-07 10:44:08 補充：

我不是用你說的那兩個方法證明的，

我是先把 1 / (1 + n^2) 用無窮等比級數展開，

再配合 xcotx 以 Riemann Zeta Function 為係數的泰勒展開式來證明的。

不過今天早上我用 e^x 的傅立葉級數又算了一遍，結果答案不一樣...

然而答案正好是 e^x 的傅立葉級數x以 π 和 - π 代入相加的一半，

有人可以告訴我這是為什麼嗎...

是不是因為正好是在收斂邊界的關係?

另外，如果要回答的話，請不要用我已經知道的方法，

也就是等比級數那個，請用傅立葉級數或者路徑積分...

我怎麼覺得這級數發散