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公式tan(θ/2)=sinθ/(1+cosθ)怎麼證明的？
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/a/0/...
請問公式tan(θ/2)=sinθ/(1+cosθ)為何不必加正負號？
我忘了我高中時有無學過tan(θ/2)=sinθ/(1+cosθ)這個公式(以及它的延伸變化型態)，
但我現在確實不明白
tan(θ/2)=+/-√[(1-cosθ)]/[(1+cosθ)]這容易理解，是由sin與cos的半角公式而來，
但分子分母同乘以(1+cosθ)化簡而得的tan(θ/2)=sinθ/(1+cosθ)，
這個公式為何不必加正負號呢？
是維基編輯者們遺漏了，還是真有什麼理由可以去掉？謝謝！
3 個解答
- 克勞棣Lv 79 年前
所以
tan(θ/2)
=±√[(1-cosθ)/(1+cosθ)]
=±√[((1-cosθ)(1-cosθ))/(1+cosθ)^2]
=±√[(1-(cosθ)^2)/(1+cosθ)^2]
=±√[(sinθ)^2/(1+cosθ)^2]
=±√[sinθ/(1+cosθ)]^2
=±sinθ/(1+cosθ)
是「正確但不準確」的計算過程嗎？
- cefpiromeLv 49 年前
個人想法:
說起來，tan(θ/2) = ± √[(1-cosθ) / (1+cosθ)] 會有 ±，
是因為我們規定(實數中) √ 表示非負平方根的關係.
若無±，則 tan(θ/2) 豈不恆取非負值.
若注意以下事實(指tan(θ/2)有意義時):
" tan(θ/2) 恆與 sinθ 同號 "，
則不難理解，tan(θ/2)=sinθ / (1+cosθ) 式中沒有 ± 的空間 (分母恆正)
2012-06-22 23:33:12 補充：
板大也許覺得由± √[(1-cosθ) / (1+cosθ)] 推至 sinθ / (1+cosθ) 怎麼 ± 消失了?
tan(θ/2)
= ± √[(1-cosθ) / (1+cosθ)]
= ± √[(1-cosθ) (1+cosθ)] / (1+cosθ)
= ± √ (sinθ^2) / (1+cosθ)，注意分子√ (sinθ^2) 可為sinθ 或 -sinθ (視sinθ之正負)
當 tan(θ/2) 與 sinθ 同正(or 0)，右式分子取+ sinθ = sinθ
當 tan(θ/2) 與 sinθ 同負，右式分子取 - (-sinθ) = sinθ
所以都是sinθ
2012-06-22 23:35:03 補充：
單思考 tan(θ/2)=(1-cosθ) / sinθ，亦可作如是觀 (當然亦可直接由 sinθ / (1+cosθ)推得)
2012-06-23 00:08:08 補充：
tan(θ/2) = ± √[(1-cosθ) / (1+cosθ)] 裡有± ，並非"兩者皆對"，
而是"恰有一個對"，是哪一個對則視 tan(θ/2) 所在象限
(當然tan(θ/2)=0時，可說兩者皆對)
板大的:
±√[sinθ/(1+cosθ)]^2
=±sinθ/(1+cosθ)
就代數上是對的(指± 皆可取 )
2012-06-23 00:10:46 補充：
但是當左式有tan(θ/2)時:
tan(θ/2)
=±√[sinθ/(1+cosθ)]^2 (至此對，± 原則只取其一)
=±sinθ/(1+cosθ)
就不能說對了，因為沒顧及左式
當最後sinθ^2脫根號取 - 時，表示sinθ為負，則tan(θ/2)亦為負，
那麼 ±√[sinθ/(1+cosθ)]^2前面的 ± 只能取 - 號，是以負負得正
而當sinθ^2脫根號取 + 時，表示sinθ為正(or 0)，則tan(θ/2)亦為正(or 0)，
那麼 ±√[sinθ/(1+cosθ)]^2前面的 ± 只能取 + 號，是以正正亦得正
2012-06-23 00:11:50 補充：
(續上)
所以不會有如單看代數式
±√[sinθ/(1+cosθ)]^2
=±sinθ/(1+cosθ)
可以正負自由配，而亦得正負之情形
