自3n+1個整數中找出n組a+b=c

Question

各位大大：

在下有題數學問題想請教達人

n為自然數

自1~3n+1共3n+1個整數中

找出n組不重複a+b=c

如當n=2

1+6=7, 2+3=5，只有6沒用到

當n=3

1+9=10, 2+6=8, 3+4=7，只有5沒用到

如此類推

問題是

有沒有一個辦法

可證明

無論n為何值

都可以找出至少一種方法

得到n組不重複的a+b=c?

感謝各位達人！

Meowth Xie · Accepted Answer

以n=33為例:
1~100

---------
Group 1:
17+34=51
18+35=53
19+36=55
...
33+50=83
----
Group 2:
1+92=93
3+91=94
5+90=95
...
15+85=100
----
Group 3:
14+52=66
10+54=64
6+56=62
2+58=60
----
Group 4:
16+68=84
12+70=82
8+72=80
4+74=78
---
剩下76
----------
排列法:
 let m=[n/2]
Group 1
(m+1)+(n+1)=(m+n+2)
(m+2)+(n+2)=(m+n+4)
...
(n)+(2n-m)=(3n-m)
----
剩下的
上段 1~m
下段有 兩區, 分別是最下段的連續段 (3n-m+1) ~(3n+1)
及間隔段: (3n-3m+1),(3n-3m+3),(3n-3m+5)...,(3n-m-1)

Group 2 用首數奇數 去補連續段:
設 p=2*[m/2]+1
p+(3n+1-p)=(3n+1)
(p-2)+(3n+2-p)=(3n)
(p-4)+(3n+3-p)=(3n-1)
.....
1+(3n-[m/2])=(3n-[m/2]+1)

Group 3 用首數(4k-2) 補間隔段前半部
Group 4 用首數(4k) 補間隔段後半部
剩下間隔段後半部中央的數沒用到

自3n+1個整數中找出n組a+b=c

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