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一名軍官剛回到家門口，一個男孩急匆匆跑過來說：『不好了！你爸爸跟我爸爸打起來了！』軍官答道：『兒子別急，我馬上去處理。』 請問，到底發生了什麼事情？

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如圖一，總共有幾句「我是一個好學生」(PS.字與字須相連)

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圖一

例：圖一、圖二皆可

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圖二

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圖三

(1)大勇國小校地面積是3.4644( )，相當於( )公畝?

括號各是多少

Alkhwarizmi（約780～約850），生於 Khiva，卒地不詳。回教的數學家，代數與算術的整理者。

阿拉伯文 Alkhwarizmi 原意是來自 (al-) 花剌子模 (Khwarizmi) 的意思。花剌子模指的是中亞阿姆河流域一帶，現屬於 Turkman 與 Uzbek 兩共和國，以 Khiva 為中心都市。Alkhwarizmi 離開了家鄉，前往當時的學問中心巴格達，服務於回教勢力極盛的 al-Mamun 及 al-MutaAiw 宮廷。

西元830年，Alkhwarizmi 寫了一本有關代數的書《Hisab al-jabr wa'l-muqabalah》。al-jabr 原為恢復平衡的意思，在這裡指的是一項這種代數運算──移項完成後，等式兩端又恢復平衡（al-jabr 也表示接骨師──骨頭斷掉了，失去平衡；接骨師接上了，恢復平衡）。wa'l-muqabalah 為簡化之意，在這裡指的是集項這種代數運算。原來的書名可中譯成「移項及集項的科學」。這本書轉成歐文，書名逐漸簡化後，其內容就以 algebra（代數）名之。

Alkhwarizmi 又引進了印度數字，發展算術，後經 Fibonacci（1170～1250年）引介到歐洲，逐漸代替了歐洲原有的算板計算及羅馬的記數系統。歐洲人就把 Alkhwarizmi 這個字拉丁化，稱用十進位印度阿拉伯數字來進行有規則可尋之計算的算術為 Algorithm。後來算術轉用其他的字（如 arithmetic）來表示，而 algorithm 現在則成為電腦科學的行話──電腦所賴以計算的「算則」。

（本文部分節錄自曹亮吉的《數學導論》（科學月刊社），並參考大英百科全書的條目 Khwarizm。）

Kovalevskaia（1850～1891，舊文獻常拼成 Sonya Kovalevsky，亦拼成 Kovalevskaya）生於莫斯科，卒於斯德哥爾摩。俄國數學家，在偏微分方程與數學物理貢獻卓著。

Kovalevskaia 生長於民風保守的俄羅斯社會，作為一名女性數學家，她的奮鬥艱苦異常。

Kovalevskaia 父母出身舊俄貴族。她那熱愛哲學崇敬數學的舅舅在 Kovalevskaia 很小時，就啟迪了她對這門奇妙學問的興趣。11歲時，她家的幼兒房新鋪壁紙，用的竟是 Ostrogradski 的微積分講義，她馬上捲入這面神秘的牆壁，辨記公式，追索頁間的順序，在她腦海中留下永難磨滅的記憶。12歲，她為了瞭解一本物理教科書，自行發展三角函數。

但是這些優異的表現並沒有讓她嚴格的父親鬆口。Kovalevskaia 只好走上當時不甘雌伏的俄羅斯女性常走的險路，嫁人以取得赴外國居住求學的權利。一位仰慕她的古生物學家 Vladimir Kovalevsky 雀屏中選，1868起與她展開15年充滿辛酸痛苦的婚姻生活。

1869年，Kovalevskaia 在德國 Heidelberg 旁聽數學課程，Weierstrass 的學生 Konigsberger 當時任教於此，馬上發現她非凡的天賦。1871年她隻身赴柏林，投入 Weierstrass 門下，由於學校拒收女性，Weierstrass 仍然將這位潛力無窮的女性收為門生，私下教授她數學。

到1874年，Kovalevskaia 已經寫出三篇可以得三個博士學位的論文：各自處理偏微分方程，Abel 積分與土星環的問題。

1874年，Kovalevskaia 獲得哥根廷大學的博士學位，但是她傑出的表現加上 Weierstrass 的大力舉薦，仍然因為性別因素無法找到教職。沮喪之下，她回到俄羅斯，在六年內沒有辦法從事研究，並且不與 Weierstrass 通信。

1880年，她開始回到數學工作，研究光線在在晶體中折射的問題，在巴黎渡過一段短暫優遊的時光。但1883年他先生因為債務問題在俄羅斯自殺的消息，讓她幾乎崩潰，為了排遣罪惡感，使她更積極投入數學工作。

1884年，在 Weierstrass 弟子 Mittag-Leffler 幫助下，她在較開明的瑞典取得臨時教職並在6年後正式任教，可惜再隔一年她便因奔波，死於併發性肺炎。

在她人生最後幾年，她的數學事業達到顛峰，任《Acta Mathematica》的編輯，1888年以〈繞固定點旋轉之剛體問題〉獲法國科學院 Bordin 大獎，1889年在Chebyshev 推薦下，成為俄羅斯科學院的通訊院士。

Von Neumann（1903-1957），匈裔美籍數學家，生於布達佩斯，卒於華盛頓特區。他是廿世紀少見的數學科學通才，在許多領域都有重要的基本貢獻。

Von Neumann 是猶太人。原姓 Neumann，因為父親買下爵位，才加上貴族專稱的「von」。他自幼穎異，記憶力過人，對數學有驚人的天份，但父親希望他從商，幾經折衝，他同時在布達佩斯大學學數學，又在柏林大學學化學（後轉到蘇黎士學化工）。但即使在蘇黎士，他仍與知名數學家 Weyl 與 Polya 交遊。Polya 曾經這樣描述 Von Neumann

「他是我唯一害怕的學生。在課堂如果我提出一個當時未解的問題，通常他在下課後就會直接來找我，給我幾頁完整的解答。」

1926年 Von Neumann 以一篇集合論的論文獲得布達佩斯大學的博士學位，然後以 Rockefeller 獎學金前往哥廷根大學跟隨 Hilbert 作博士後研究，並在柏林，漢堡講學。Von Neumann 在廿餘歲時已經是數學圈中公認的年輕天才。

1930年 Von Neumann 應 Veblen 之邀，到普林斯頓大學客座，1931年普林斯頓大學即授予教授職位，1933年他成為新成立的普林斯頓高等研究院終身職院士。Von Neumann 的家庭宴會在普林斯頓非常熱鬧知名，這在數學家中是很少見的。

綜論 Von Neumann 的數學成就，大致如下：

（1）初期工作以數理邏輯（尤其是公設集合論）、測度論、實分析為主。

（2）在《Mathematische Grundlagender Quantenmachanik》（1932）中， Von Neumann 為當時的量子力學打下堅實的數學基礎。

（3）自1929起，Von Neumann 即從事算子代數的先驅性工作，在1930-40年間 Von Neumann 與 Murray 為後來所謂的 Von Neumann 代數寫下系列基本的文章。

（4）Von Neumann 為對局論的發明人，他首先証明零和對局的 minmax 定理，並與 Morgenstern 合著《對局論與經濟行為》，對社會科學、生命科學影響深遠。

（5）Ergdic（遍歷性）定理的証明（1938）。

（6）Von Neumann 對應用數學的興趣，從流體力學始，並對非線性偏微分方程產生莫大的興趣。而對他而言，數值計算是最可能的「實驗」方法，這也使 Von Neumann 成為今日電腦之奠基者，並因此發展 cellular automata 的理論。

另外 Von Neumann 也是氫彈的催生者，1940年起他即熱心參與美國的各項國防計劃或實驗室，也因此獲得各式各樣的數學或非數學的獎章。

Kovalevskaia（1850～1891，舊文獻常拼成 Sonya Kovalevsky，亦拼成 Kovalevskaya）生於莫斯科，卒於斯德哥爾摩。俄國數學家，在偏微分方程與數學物理貢獻卓著。

Kovalevskaia 生長於民風保守的俄羅斯社會，作為一名女性數學家，她的奮鬥艱苦異常。

Kovalevskaia 父母出身舊俄貴族。她那熱愛哲學崇敬數學的舅舅在 Kovalevskaia 很小時，就啟迪了她對這門奇妙學問的興趣。11歲時，她家的幼兒房新鋪壁紙，用的竟是 Ostrogradski 的微積分講義，她馬上捲入這面神秘的牆壁，辨記公式，追索頁間的順序，在她腦海中留下永難磨滅的記憶。12歲，她為了瞭解一本物理教科書，自行發展三角函數。

但是這些優異的表現並沒有讓她嚴格的父親鬆口。Kovalevskaia 只好走上當時不甘雌伏的俄羅斯女性常走的險路，嫁人以取得赴外國居住求學的權利。一位仰慕她的古生物學家 Vladimir Kovalevsky 雀屏中選，1868起與她展開15年充滿辛酸痛苦的婚姻生活。

1869年，Kovalevskaia 在德國 Heidelberg 旁聽數學課程，Weierstrass 的學生 Konigsberger 當時任教於此，馬上發現她非凡的天賦。1871年她隻身赴柏林，投入 Weierstrass 門下，由於學校拒收女性，Weierstrass 仍然將這位潛力無窮的女性收為門生，私下教授她數學。

到1874年，Kovalevskaia 已經寫出三篇可以得三個博士學位的論文：各自處理偏微分方程，Abel 積分與土星環的問題。

1874年，Kovalevskaia 獲得哥根廷大學的博士學位，但是她傑出的表現加上 Weierstrass 的大力舉薦，仍然因為性別因素無法找到教職。沮喪之下，她回到俄羅斯，在六年內沒有辦法從事研究，並且不與 Weierstrass 通信。

1880年，她開始回到數學工作，研究光線在在晶體中折射的問題，在巴黎渡過一段短暫優遊的時光。但1883年他先生因為債務問題在俄羅斯自殺的消息，讓她幾乎崩潰，為了排遣罪惡感，使她更積極投入數學工作。

1884年，在 Weierstrass 弟子 Mittag-Leffler 幫助下，她在較開明的瑞典取得臨時教職並在6年後正式任教，可惜再隔一年她便因奔波，死於併發性肺炎。

在她人生最後幾年，她的數學事業達到顛峰，任《Acta Mathematica》的編輯，1888年以〈繞固定點旋轉之剛體問題〉獲法國科學院 Bordin 大獎，1889年在Chebyshev 推薦下，成為俄羅斯科學院的通訊院士。

Godel（1906～1978）生於現捷克之 Brno，卒於普林斯頓。Godel 是廿世紀最偉大之數理邏輯學家，其不完備定理是廿世紀最具啟發性的思想發現之一。

Godel 自小便很好奇，青少年時即對數學、哲學、語言與歷史產生極大的研究熱誠。他在維也納大學原主修理論物理，後轉回數學，並參與 Schlick（石里克）領導的「維也納學圈」，對數學與科學作本質的哲學探索，1928年因聽了 Brouwer 的演講，乃致力於數理邏輯的研究。

自19世紀中，由於非歐幾何的確立、分析嚴格化的要求與羅素悖論的出現，數學基礎的問題吸引許多一流數學家的眼光，當時數學∕哲學家熱切地想將數學確定性的大廈奠基於某種不可懷疑的基礎上，雖然多數人都很樂觀，但是從 Hilbert 與 Ackermann 在1928年提出下列的未解問題：「一階邏輯是否完備(complete)或可決定(decidable)？」，顯示整個基礎化計畫的進度十分緩慢。

1929/30年 Godel 初試啼聲，漂亮地在他的博士論文中證明一階邏輯的完備性，給 Hilbert 的計畫打下一劑強心針，但是不久後(1931)，Godel 卻證明了他最知名的「不完備定理」：

設S為一包含算術系統的公理系統，若 S 相容（consistent，即不自我矛盾），則 S 不完備（即在 S 中有些敘述為真，卻無法由 S 的公理推導出來）。

徹底崩毀了基礎化計畫。這一前一後兩個關於完備性的定理，使數學界（尤其是 Hilbert 學派）戲劇性地經歷烈火寒冰般的巨變。Godel 也因此聲名如日中天。1933年他應邀訪美講學演說，此行他結識日後的摯友愛因斯坦。

30年代的歐洲瀰漫著法西斯的氣氛，Godel 亦師亦友的 Schlick 也因此被刺殺，這個噩耗使他陷入精神沮喪，終其一生困擾著他的研究生活。大戰前夕，他完成另一個重要的工作─證明選擇公理與連續統假設皆與ZF集合論相容。1940年他經由俄羅斯、日本到達美國，從此定居於普林斯頓。

Godel 在美國的研究重心，逐漸轉移到其他方面。由於與愛因斯坦時相往來，40年代末，Godel 致力於探討廣義相對論與時間的意義，證明循環時間與愛因斯坦方程並無矛盾（他還因此在1950年的國際數學家會議提出報告）。另外，Godel 一直從事於哲學的深度思考，專心研讀 Leibniz、康德、Husserl（胡賽爾）等的著作，留下的哲學思考筆記無數，還沒有充分地編註印行。Godel 晚年（1971年起）時常與華裔邏輯∕哲學家王浩討論，並因而促成王浩撰寫《Reflection on Kurt Godel》的佳話。

Godel 個人包辦了數理邏輯幾個經典定理，並為整個領域帶來革命性的風貌，堪稱是廿世紀最偉大的數理邏輯學家。尤其是他的「不完備定理」，由於暗示了一個理性系統不可能是全知的想法，經常被引申（或過度引申）到其他領域。例如：自然是無法被人類瞭解；語言是沒有界限的；心靈無法認識自己等。非科學家最常引用的數學定理，竟然如此晦澀，也該算是廿世紀的數學奇談了。

K. Pearson（1857～1936），生卒於倫敦，公認為統計學之父。

K. Pearson 1879年畢業於劍橋大學數學系；曾參與激進的政治活動。出版幾本文學作品，並且作了三年的律師實習。1884年進入倫敦大學學院 (University College, London)，教授數學與力學，從此待在該校一直到1933年。

K. Pearson 最重要的學術成就，是為現代統計學打下基礎。自從達爾文演化論問世後，關於演化的本質爭論不斷，在這方面他深受 Galton（達爾文表哥，「優生學」一詞的發明者）與 Weldon 影響。 Weldon 1893年提出「所謂變異，遺傳與天擇事實上只是『算術』」的想法。這促使 K. Pearson 在1893-1912年間寫出18篇〈在演化論上的數學貢獻〉的文章，而這門「算術」，也就是今日的統計。許多熟悉的統計名詞如標準差，成分分析，卡方檢定都是他提出的。

K. Pearson、Galton 與 Weldon 為了推廣統計在生物上的應用，於1901年創立統計的元老期刊《Biometrika》， 由 K. Pearson 主編至死，但是 K. Pearson 的主觀強，經常對他本人認為有「爭議」的文章， 刪改或退稿，並因此與英國本世紀最有才華的統計學家 Fisher 結下樑子。

1906年 Weldon 死後，K. Pearson 不再注意生物問題，而專心致志於將統計發展成一門精確的科學。

Cauchy（1789～1857）法國數學家，生卒於巴黎。在分析學與數學物理卓有貢獻，也是微積分嚴格化的第一人。

Cauchy 誕生於法國大革命時期，由於宗教與政治信仰的關係，幼年時曾隨家庭短暫顛沛。他的家庭與 Laplace 與 Lagrange 交好，Lagrange 尤其算是他的數學啟蒙老師。

1805年 Cauchy 進入綜合工藝學院 (Ecole Polytechnique)，1807年畢業後，進入一所工程學院 Ecole des Ponts et Chausse 深造。在投入拿破崙軍隊，從事運河或港口工程等煩冗事務的同時，Cauchy 努力研讀 Laplace 的《天體力學》與 Lagrange 的《函數理論》，1815年之前，Cauchy 想在學術圈謀取教職的心願一直不順遂。但1816年，在他獲得法國科學院的大獎後，兩年內就成為科學院院士，法蘭西學院院士並獲得綜合工藝學院的教職。

Cauchy 在同僚中是一個保守虔誠的「異類」，由於堅持他的宗教與政治信仰，他曾站在天主教耶穌會的立場對抗科學院（只因他認為牛頓不相信人有靈魂）；另一個例子是，他熱情地支持復辟的波旁王朝，1830年七月革命後，他還跟隨查理十世流亡，失去所有榮銜教職，遊學於杜林 (Turin) 與布拉格。到1838他恢復院士職，卻仍因不願對新政權宣誓，而不能獲得教職。

Cauchy 與數學同僚的關係似乎也十分緊張，經常不願或不能給予其他數學家適當的評價，吃過他虧的知名數學家包括 Poncelet，Galois，Abel 等，1843年兩度競選法蘭西學院院長不成後，他又與 Liouville 交惡。

另外 Cauchy 的教學似乎也很差勁，沒有耐性，在許多學生的回憶中，他教書是模糊，跳躍，沒有關聯，間而閃爍天才的靈光。

雖然 Cauchy 有這些缺點，他在數學上的貢獻不凡，他一生寫了令人咋舌的789篇數學論文。從數學史的觀點，他最重要的成就或許在於，他是打下分析（實變數或複變數）嚴格基礎的先驅者：例如收斂、極限、連續函數的意義（一說在布拉格受 Bolzano 的影響），無窮級數的收斂條件，複變數函數的定義等。另外他在微分方程、數學物理（彈性理論，光學等）、代數也有很大的貢獻，並因此留給後人許多有威力的數學工具：Cauchy-Kovalevskaya 定理，Fourier 轉換，矩陣的對角化，calculus of residue 等等。

歐氏幾何的創立，是數學史也是人類文明史上破天荒的大事。古埃及與巴比倫的直觀、個案的經驗幾何知識，傳到古希臘，Thales 首先嘗試用「邏輯」加以組織。接著是畢氏學派，採用原子論 (atomism) 的觀點，將幾何建立在算術基礎上面。畢氏學派主張：點是幾何的「原子」，其長度 d > 0，因而任何兩線段皆可共度。由此證明了長方形的面積公式、畢氏定理與相似三角形基本定理。不幸的是，畢氏的門徒 Hippasus 發現了不可共度線段，震垮了畢氏學派的幾何學。後來雖有 Eudoxus 的比例論來補救，但歐氏已不走畢氏的舊路，改採公理化的手法，以幾何公理來建立幾何。這一段歷史非常珍貴，不論是在知識論、科學哲學或教育上，都深具啟發性。

當代著名的科學哲學家拉卡托斯（I. Lakatos, 1922～1974），在《論分析與綜合方法》一文中說得好（詳見參考資料 1）：

我認為對於希臘幾何所能做的最精采工作，是分析歐氏之前的幾何 (pre-Euclidean geometry) 及其在產生歐氏演繹系統的過程中所扮演的角色。大部分的歐氏幾何，在歐氏 (Euclid) 給出公理與定義（西元前300年）之前已經存在，正如數論在 Peano 給自然數作出公理化（1889年）之前、微積分在實數系建構（1870年，Dedekind、Cantor、Meray、Heine、Weierstrass 等人的工作）之前、機率論在 Kolmogorov 公理化（1933年）之前，都已經存在。問題在於為何需要公理化？公理化對於數學的進一步發展有什麼幫助？

在數學史上，歐氏幾何是第一個公理化的知識系統，由定義與公理出發，推導出一系列的定理。我們讀歐氏幾何都接受這樣的推展程序。

然而，公理是怎麼得來的呢？為什麼要選取這樣的公理？公理並不是天經地義的。顯然，它們都是經過長期的試誤 (trial and error) 才演化出來的。公理有如憲法，都是人們制訂出來的，可以挑戰，更可以修訂或重訂。這是歐氏幾何產生出非歐幾何 (non-Euclidean geometry)，牛頓力學被修正成為相對論與量子力學，導致科學進展的理由。

本文我們嘗試對歐氏之前的幾何學，作合理的重建工作 (rational reconstruction)，最主要是重建畢氏學派的幾何研究綱領 (the research program of geometry)，以及歐氏做出歐氏幾何的分析過程。畢氏這一工作雖然沒有完全成功，但是卻可比美於他為了追尋音律而用單弦琴 (monochord) 所作的第一個物理實驗（見參考資料 18），並且也為歐氏幾何的誕生鋪路。成功是踏著前人的失敗走過來的。

Hermite(1822-1901)，法國數學家。生於Dieuze，卒於巴黎。用橢圓函數求出五次方程的一般解；証明 e 是超越數。

Hermite出身殷實的商人之家，天生跛足，但天性樂觀。中學從 Nancy 轉到巴黎，後來進入 Galois 的母校，路易十四公立中學。Hermite 與 Galois 同樣的桀傲不馴，不耐於初等或「過氣」的數學課程，也厭惡折磨人的考試，雖然他在高中已自修高斯、Lagrange、Euler、Laplace的著作，並且發表有深度的數學文章，1842年他的綜合工藝學院入學考試成績平平，勉強入學一年後，又因殘疾被校方退學。

1848年 Hermite 取得教師資格，前兩年在法蘭西學院任教，1856年被選為科學院院士，卻一直到1869年，才在高等師範學院任教授職，1870年赴巴黎大學 (Sorbonne) 任教至1898年。

Hermite 最重要的數學成就有二：

(1) 五次方程式解(1858年)：

Abel証明五次（含五次）以上之方程沒有根式解後，Jerrard証明五次方程都可以化成 x5-x-a=0 的型式，Hermite更進一步証明一般五次方程的解可以用橢圓函數來表示。

(2) e 是超越數(1873年)：

一個有理係數多項式方程的根稱為代數數 (algebraic number)，不是代數數的實數稱為超越數。Liouville 是研究超越數的先驅，但是能証明重要實數（如 e 與 π）是超越數者，首推 Hermite e 是超越數的証明。利用類似的方法， Lindemann 在1882年証明 π 的超越性，也証明不可能「化圓為方」。

Hermite 其他的重要工作包括 Hermite 二次型、Hermite 多項式、Hermitian 矩陣。雖然 Hermite 是一個道地的純數學家，他的這些工作，在廿世紀的量子力學中扮演著重要的角色。

Hermite 是一個精神高尚的人，在當時敵友難分的歐洲世局中，他慷慨與歐洲數學家共享數學的發現，困難與猜測。另外他終生是一個帶著神秘主義色彩的數學家。

Hermite 顯然是一個非常好的老師，作為十九世紀後半法國數學界的領導者，他在巴黎大學教出非常多傑出的數學家，其中以 Poincare 最知名，其他還有 Picard、Darboux、Borel、Painleve。

Jacobi（1804～1851），出生於德國 Potsdam，卒於柏林。他對數學主要的貢獻是在橢圓函數及橢圓積分上，並把這些理論應用在數論上而得到很好的結果。

雅可比很早就展現了他的數學天份。他從歐拉及 Lagrange 的著作中學習代數及微積分，並被吸引到數論的領域。他處理代數問題的手腕只有歐拉與印度的 Ramanujan 可以相提並論。

Jacobi 少 Abel 兩歲。他不知道 Abel 從1820年起就在作五次式的問題，他也去作，但是沒有完滿的結果。

年輕的時候，Jacobi 有許多發現都跟高斯的結果重疊，但高斯並沒有發表這些結果。高斯很看重雅可比，1839年 Jacobi 還去拜訪了高斯。1849年45歲的時候，除了高斯之外，Jacobi 已經是歐洲最有名的數學家了。

複數函數（單變數）是十九世紀的一個大領域。高斯已經証明了：要解一個代數方程，我們必需要複數，而這也是充分的。是否還有其他的「數」呢？

橢圓函數理論是與複變函數論互為補充的理論。橢圓函數的一個主宰性質是他的雙周期性，1825年被 Abel 發現的。若 E(x) 為一橢圓函數，則有兩個相異的數 p1、p2 使

\begin{displaymath}E(x+p_1)=E(x) \quad \mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 163}} \quad E(x+p_2)=E(x)\end{displaymath}

Jacobi 應用橢圓函數論到整數論的問題上，他証明了 Fermat 宣稱的：每個整數 1, 2, 3, ... 都可以寫成整數（包含 0）的平方和，而且他還能算出共有幾種方法。當 n 為奇時，有 n 的所有因數（包括 1 及 n）之和的 8 倍個方法；當 n 為偶時，有 n 的所有奇因數之和的 24 倍個方法。

他在數學物理上也有番建樹，在量子力學中他的 Hamilton-Jacobi 方程扮演了一個革命性的角色。

假設{ Bn : n = 1, 2, 3, ... } 是一個機率空間的有限或者可數無限的分割（既 Bn為宜完備事件組），且每個集合Bn是一個可測集合，則對任意事件A有全機率公式：

又因為

此處Pr(A | B)是B發生後A的條件機率，所以全機率公式又可寫作：

全機率公式將對一複雜事件A的機率求解問題轉化為了在不同情況或不同原因 Bn下發生的簡單事件的機率的求和問題。

條件機率的期望值[編輯]

在離散情況下，上述公式等於下面這個公式。但後者在連續情況下仍然成立：

此處N是任意隨機變數。

這個公式還可以表達為：

"A的先驗機率等於A的後驗機率的先驗期望值。

==========================================================================================================================

定義

「乘法公式」是讓我們將繁複的計算變得比較容易計算。

例：求之值。

我們可以使用「和平方」公式將之展開：

又如：求之值。

我們將前二項加起來，得。

又如此題須用「平方差」公式解題，題目如右：已知，求數對。

其解為，做法略。

乘法公式[編輯]

1.分配律：。

2.和平方：。 三數和平方：

3.差平方：。 三數差平方：

4.平方差：。

5.和立方：

6.差立方：。

7.立方和：。

8.立方差：。

9.。

10.。

11.。

相關條例[編輯]

因式分解

楊輝三角形

*--*-*-*-*-*-*-*-*-**-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-**-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-**-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*--

在數學中，塞爾伯格跡公式是非交換調和分析的重要定理之一。此公式表達了齊性空間 的函數空間上某類算子的跡數，其中 是李群而 是其離散子群。

塞爾伯格在1956年處理了緊黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。藉由拉普拉斯算子及其冪次，塞爾伯格定義了塞爾伯格ζ函數。此時的公式相似於解析數論關注的「明確公式」：黎曼曲面上的測地線在公式中扮演素數在明確公式裡的角色。

一般而言，塞爾伯格跡公式聯繫了負常數曲率緊曲面上的拉普拉斯算子的譜，以及該曲面上的週期測地線長度。對於環面，塞爾伯格跡公式化為泊松求和公式。

定義

設 為緊緻、負常曲率曲面，這類曲面可以表為上半平面 對 的某離散子群 的商。

考慮 上的拉普拉斯算子

由於 為緊曲面，該算子有離散譜；換言之，下式定義的特徵值 至多可數

事實上，更可將其由小至大排列：

對應的特徵函數 ，並滿足以下週期條件：

行變元代換

於是特徵值可依 排列。

跡公式[編輯]

塞爾伯格跡公式寫作

和式中的 取遍所有雙曲共軛類。所取函數 須滿足下述性質：

在帶狀區域 上為解析函數，在此 為某常數。

偶性：。

滿足估計：，在此 為某常數。

函數 是 的傅里葉變換：

。

後續發展[編輯]

為了計算赫克算子作用於尖點形式上的跡，出現了 Eichler-塞爾伯格跡公式。志村五郎後來採取的方法省去了跡公式中的分析技巧。拋物上同調也為非緊黎曼曲面與模曲線的尖點問題提供了純粹的代數框架。最後， 為緊的情形可藉阿蒂亞-辛格指標定理處理，然而，一旦取 為算術子群，便不免要處理非緊的情形。

在1960年代，塞爾伯格跡公式由蘇聯的蓋爾芳特學派、普林斯頓大學的 Harish-Chandra（हरीश चन्द्र）、羅伯特·郎蘭茲與日本的窪田富男接手推動。非緊情形的連續譜是郎蘭茲發展艾森斯坦級數理論的動機之一。拉普拉斯算子與赫克算子的跡公式表明了賦值向量環之妙用。

亞瑟-塞爾伯格跡公式適用於一般的半單群（或約化群）。此公式的一側稱為譜側，與群的表示相關；另一側稱為幾何側，與函數之軌道積分相關。群表示通常帶有重要的數論信息，而軌道積分則較容易操作。亞瑟-塞爾伯格跡公式是證明郎蘭茲函子性猜想的重要進路之一。

七劃

利息

interest

夾邊

included side

夾角

included angle

非負的

non-negative

呎

foot

坐標平面

coordinate planes

角台

frustum of a pyramid

角柱

prism

角錐

pyramid

序數

ordinal number

八劃

股

arm

角平分線

bisector of an angle

直角坐標

rectangular coordinates

直線坐標

rectilinear coordinates

直尺

ruler

直角

right angle

直徑

diameter

弦

chord

直角三角形

right triangle

長方形

rectangle

長方體

cuboid

自然數

natural number

奇數

odd number

和

sum

弧度

radian

弧長

arc length

表面積

area of a surface

近似值

approximate value

底角

base angle

函數圖形

graph of a function

函數

function

拋物線

parabola

九劃

首項

first term

指數

exponent

面

plane

面積

area

負的

negative

負數

negative number

度

degree

垂線

perpendicular lines

垂心

orthocenter

相似三角形

similar triangles

相鄰

adjacent

前項

antecedent

重心

barycenter

重心

barycenter

重根

double root

center of gravity

相異根

distinct roots

約分

reduction of a fraction

係數

coefficient

恆等式

identity

五劃

平方

square

平方根

square root

平角

straight angle

平行四邊形

parallelogram

平行線

parallel lines

平行

parallel

立方根

cube root

立方體

hexahedron (cube)

立方

cube

半徑

radius

本利和

amount

正的

positive

正整數

positive integer

正三角形

equilateral triangle

正方形

square

正比例

direct proportion

外項

extreme term

外接圓

circumcircle

外公切線

external common tangent

外切

external contact

外心

excenter (tircumcenter)

外角平分線

external bisector

加法

addition

加減消去法

elimination by addition or subtraction

加

add

加數

addend

加速度

acceleration

代入消去法

elimination by substitution

代數

algebra

四邊形

quadrilateral

且

and

六劃

次方

power

吋

inch

全等三角形

congruent triangles

全等

identical

多項式

polynomial

百位數

hundreds’ digit

百分位

hundredth

百分比

percent

同心圓

concentric circles

同位角

corresponding angles

同類項

similar terms

有理數

rational number

年利率

annual rate of interest

交點

point of intersection

一劃

一次方程式

simple equation

一般式

general expression

二劃

二次方程

quadratic equation

二十面體

icosahedron

二項式定理

binomial theorem

十位數

tens' digit

十分位

tenth

八邊形

octagon

三劃

小括號

parenthesis

大括號

brace

弓形

segment

六邊形

hexagon

小數

decimal

小數的循環節

recurring period

四劃

中括號

bracket

中垂線

perpendicular bisector

比

ratio

比例線段

proportional segment

比例中項

proportional mean

內錯角

interior alternate angle

內項

mean term

內切

internal contact

內切圓

incircle

內公切線

internal common tangent

內心

incenter

公比

common ratio

公差

common difference

公切線

common tangent

公因數

common factor (divisor)

五邊形

pentagon

升羃

ascending power

切線

tangent

切點

point of tangency(contact)

末項

last term

分數

fraction

尺規作圖

construction with ruler and compasses

分母

denominator

分子

numerator

分離係數

detached coefficient

分析

analysis

心臟線

cardioid

互補

supplementary

互餘

complementary

互質

coprime (relatively prime)

不等式

inquality

N

ℕ自然數

N 表示 {1,2,3,…}，另一定義參見自然數條目。{|a| : a ∈ Z} = N

N

數

Z

ℤ整數

Z 表示 {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}。{a : |a| ∈ N} = Z

Z

數

Q

ℚ有理數

Q 表示 {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}。3.14 ∈ Q

π ∉ Q

Q

數

R

ℝ實數

R 表示 {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, 極限存在}。π ∈ R

√(−1) ∉ R

R

數

C

ℂ複數

C 表示 {a + bi : a,b ∈ R}。i = √(−1) ∈ C

C

數

∞無窮

∞ 是擴展的實數軸上大於任何實數的數；通常出現在極限中。

limx→0 1/|x| = ∞

無窮

數

π圓周率

π 表示圓周長和直徑之比。A = πr2 是半徑為 r 的圓的面積

pi

幾何

|| ||範數

||x|| 是賦範向量空間元素 x 的範數。||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||

…的範數；…的長度

線性代數

∑求和

∑k=1n ak 表示 a1 + a2 + … + an.∑k=14 k2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

從…到…的和

算術

∏求積

∏k=1n ak 表示 a1a2•••an.∏k=14 (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360

從…到…的積

算術

直積

∏i=0nYi 表示所有 (n+1)-元組 (y0,…,yn)。

∏n=13R = Rn

…的直積

集合論

'導數

f '(x)函數f在x點的導數，也就是，那裡的切線斜率。

若 f(x) = x2, 則 f '(x) = 2x

… 撇; …的導數

微積分

∫不定積分 或 反導數

∫ f(x) dx 表示導數為f的函數.∫x2 dx = x3/3

…的不定積分; …的反導數

微積分

定積分

∫ab f(x) dx 表示 x-軸和 f 在 x = a和x = b之間的函數圖像所夾成的帶符號面積。

∫0b x2 dx = b3/3;

從…到…以…為變量的積分

微積分

∇梯度

∇f (x1, …, xn) 偏導數組成的向量 (df / dx1, …, df / dxn).若 f (x,y,z) = 3xy + z2 則 ∇f = (3y, 3x, 2z)

…的(del或nabla或梯度)

微積分

∂偏導數

設有f (x1, …, xn), ∂f/∂xi是f的對於xi的當其他變量保持不變時的導數.若 f(x,y) = x2y, 則 ∂f/∂x = 2xy

…的偏導數

微積分

邊界

∂M 表示M的邊界∂{x : ||x|| ≤ 2} =

{x : || x || = 2}

…的邊界

拓撲

次數

∂f(x) 表示f(x)的次數( 也記作degf(x) )

…的次數

多項式

⊥垂直

x ⊥ y 表示 x 垂直於y; 更一般的 x正交於y.若 l⊥m和m⊥n 則 l || n.

垂直於

幾何

底元素

x = ⊥ 表示 x是最小的元素.∀x : x ∧ ⊥ = ⊥

底元素

格理論

⊧蘊涵

A ⊧ B 表示A蘊涵B, 在A成立的每個 模型中， B也成立.A ⊧ A ∨ ¬A

蘊涵；

模型論

⊢推導

x ⊢ y 表示 y 由 x導出.A → B ⊢ ¬B → ¬A

從…導出

命題邏輯, 謂詞邏輯

◅正則子群

N ◅ G 表示 N是G的正則子群.Z(G) ◅ G

是…的正則子群

群論

/商群

G/H 表示G 模其子群H的商群.{0, a, 2a, b, b+a, b+2a} / {0, b} = {{0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}}

模

群論

≈同構

G ≈ H 表示 G 同構於 HQ / {1, −1} ≈ V,

其中 Q 是四元數群 V 是 克萊因四群.

同構於

群論

∝正比

G H 表示 G 正比於 H

若Q V，則 Q=KV

正比於

所有領域