設P(n)=cos(pi/(2的n次方));當n趨近無限大時,求連乘積P(2)*P(3)*P(4).....*P(n)的極限值.?

令 θ = π / (2^n) , 則:

π = 2^n * θ

π / (2^2) = 2^n * θ / (2^2) = 2^(n-2) * θ , 故 P(2) = cos [ 2^(n-2) * θ ]

2^(n-1) * θ = 2^n * θ / 2 = π / 2 ..... (1)

以下的導出, 基本上就是反覆運用 sin 的2倍角公式:

P(2) * P(3) * P(4) * ......... * P(n)

= P(n) * P(n-1) * P(n-2) * ......... * P(2)

= cos θ * cos 2θ * cos 4θ * ......... * cos [ 2^(n-2) * θ ]

= [ 1 / (2*sin θ) ] * 2*sin θ*cos θ * cos 2θ * cos 4θ * ......... * cos [ 2^(n-2) * θ ]

= [ 1 / (2*sin θ) ] * sin 2θ * cos 2θ * cos 4θ * ......... * cos [ 2^(n-2) * θ ]

= [ 1 / (4*sin θ) ] * sin 4θ * cos 4θ * ......... * cos [ 2^(n-2) * θ ]

= { 1 / [ 2^(n-2) * sin θ ] } * sin [ 2^(n-2) * θ ] * cos [ 2^(n-2) * θ ]

= { 1 / [ 2^(n-1) * sin θ ] } * sin [ 2^(n-1) * θ ]

= { 1 / [ 2^(n-1) * sin θ ] } * sin (π/2) , 由(1)式得

= 2^(1-n) * sin (π/2) / sin θ

= 2^(1-n) / sin θ

= 2^(1-n) / sin [ π / (2^n) ]

當 n → ∞

2^(1-n) → 0

sin [ π / (2^n) ] → 0

故 2^(1-n) / sin [ π / (2^n) ] 為不定式

當 n → ∞ , 利用 L'Hopital's Rule 可得: ( 對 n 微分 )

2^(1-n) / sin [ π / (2^n) ]

→ 2^(1-n) * ln 2 * (-1) / { cos [π/(2^n)] * π * 2^(-n) * ln 2 * (-1) }

→ 2 / ( cos 0 * π )

→ 2 / π

Ans: 2 / π

驗證:

利用 Excel 計算, 只需要到 n = 12 , 即可得到相當精確的值:

A1 ~ A11 儲存格產生數列 2 , 3 , 4 , ..... , 12

B1輸入 =COS(PI()/2^A1)

再下拉到 B11

C1輸入 =PRODUCT(B:B)

計算結果為 0.636619835

比較數學計算的結果:

2 / π ≒ 0.636619772

所以, n = 12 時, 即已相當接近, 故驗證無誤