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重心的存在性
以下問題是在下學習物理時碰到的幾個疑問
還請各位高手不吝指點
學習中學物理的時候
認識了「重心」這個名詞
並且說明道：
在均勻重力場中，系統的重心位置恰為質心位置
此地我定義重心如下：
重力場中有一個系統
擇定參考點O，且系統所受合重力為∑(F→)
若存在點G
使得 (OG→) × ∑(F→)等於該系統力矩的總和
則稱G為該系統的重心
前導問題：
此定義是否合適？
問題一：
三維空間中的任一個系統
對於固定的參考點而言
(不論它是否存在於均勻重力場中)
重心是否存在且唯一？
問題二：
若問題一答案是肯定的
三維空間中的任一個系統
對於不同的參考點而言
它的重心位置是否相同？
問題三：
若問題二、三為答案是肯定的
考慮一個雙質點系統
兩個點(不知怎地)受到了互相歪斜的重力
試問此系統的重心位置為何？
以上，向量表示皆用括弧與箭號連接
問題三
應該是問說，
...重心位置有沒有什麼求法？
(因為我沒有給數據，所以肯定不足以確定重心的位置)
TO郭：
關於您的式子
"E(x(i)F)=R*E(F)"
我想提出疑問
除了一維空間上
系統存在於垂直空間軸的重力場
可以將力矩簡化為如上標量形式外
為何可以將力矩表示為E(x(i)F)？
一、
x(i)F不一定一小部分質量所生重力矩的模
而有可能與此向量的模相差一個餘弦值的乘積
二、
即便x(i)F恰為力矩的模(餘弦值等於1)
E(x(i)F)也不一定是系統總重力矩的模之和
舉例如：若任二非零向量不平行
則和向量的模不為個別向量的模之和
空間不夠，晚些時候再繼續打
此外
即便E(x(i)F)恰為系統合力矩的模
且R*E(F)恰為空間向量與系統合力叉積的模
又何以能確定
當：
系統合力矩的模=空間向量與系統合力叉積的模，
則
系統合力矩=空間向量與系統合力叉積
以上幾個疑問，還請不吝指點
更正：
請自動將上面的餘弦值
全數改為正弦值
此外，我剛剛發現我一個敘述上的瑕疵
修正如下
"使得 (OG→) × ∑(F→)等於該系統力矩的總和"
改為
"使得 (OG→) × ∑(F→)等於該系統重力力矩的總和"
To郭：
關於
解答1.、解答2.
可否請您幫我作個證明？
To郭：
謝謝您的分析
但是我還想要再提出幾個問題，
還請您不吝指點：
關於您提到的重心求法
"分為X、Y、Z三軸個別找出重心的位置"
我想提出問題如下：
為了找出重心，必須確立如下方程的解：
(附帶一提，您所謂的g、r是否意指g(i)、r(i)？因為重力場，位置向量可能處處不同
而您所謂的∫是否意指求和符號?因為對於積分而言此式表示方法似乎沒有定義)
"∫{m(i)g_x_(r)} = (R) x ∫{m(i)g}"
而當我們要找某一個軸的重心位置(即R的解之於某個軸的投影向量)
g(i)向量的投影向量要朝向哪一方向？
而r的投影向量又應該朝向哪一方向？
續上
關於敘述：
"1.2其實由公式理解，積分算出來必有一個值，再除以質量也仍只會有一個值"
我也想提出疑問如下：
"∫{m(i)g(i)_x_(r(i))}"抑或是"∫{m(i)g(i)}"
所算出之值是一個隨m(i)、g(i)、r(i)函數不同而改變的函數
於是我假設：
∫{m(i)g(i)_x_(r(i))}=T(m, g, r)
∫{m(i)g(i)}=G(m, g)
那麼式子能簡寫如下
T(m, g, r)=R x G(m, g)
當向量函數m, g, r 都已確定
如何能確定向量R有唯一解？
謝謝 郭、錦遲 知識友 精闢的分析
到此我受益良多，先將本問題懸置於版上
等待更多先進參與討論，以期激迸出思想的火花
再次感謝
3 個解答
- 6 年前最愛解答
前導問題
定義沒有問題
白話來說，假設有一個點(叫支點，此點可意識任意位置，包括物體體積外空間的點)，物體總重力矩等於種重力在某個位置對這個點產生的力矩相同，那個某個位置就是重心
m(a)g*X(a)+m(b)g*X(b)+........=Mg*R
(m為一小部分質量，g為重力加速度，X為一小部分質量到支點距離，M為種質量，R為重心到支點距離)
1.如果沒有重力，就不會有重力矩那就沒有討論重心的意義，那如果有重力存在不管均不均勻必有一個重心存在
2.不論參考點在哪，重心將都一樣
3.重心位置求法和質心類是
先回到上方的數學式，換一個整齊的寫法
E(x(i)F)=R*E(F)______E代表和符號(sum) x(i)為一小部分質量到支點距離，F代表質量重力F=m(i)g ______m(i)代表一小部分質量
E(x(i)m(i)g)=R*E(m(i)g)
分別提出E(g)削掉_ !!!!!!!!!如果在不均勻重力場此項絕對不能互消，要改成g(i)!!!!!!!
E(x(i)m(i))=R*E(m(i))
R=E(x(i)m(i))/E(m(i)________E(m(i)=M
R=E(x(i)m(i))/M
如果為連續的物體則為
R=∫(x(i)m(i))/M
此推倒中會發現諾在均勻重力場重心位置和質心位置算法一樣
那出來的位置就會相同，嘗試看看不把削掉g(i)使用推導出重心位置公式
而一般我們都把支點設在原點，方便計算
因為知識+ 的方程式只能使用這種很醜的表示，看起來難懂，在此說聲抱歉
2015-07-18 18:54:57 補充：
我沒注意到，當初沒想太多就直接用1維
更正為3維 直接就當是連續物體積分打出來的式子比較乾淨
∫{m(i)g_x_(r)} = (R) x ∫{m(i)g} (_x_代表外積符號，(r)為一小部分質量到支點距離向量，(R)為重心到支點向量
所以全部的計算皆使用向量數學計算
但問題在於此，這數學會變得難以使用
我們會切割物體，把它分為已知重心物體或好算重心，再分別依照質量分布加回來
不然就是分xyz軸分別下去處理
單算一軸會得到重心所在的函數(一個面)，把三個軸算出的面的焦點求出(只會有一個點)(因為每個平面都會垂直其算
空間不夠下面繼續
2015-07-18 19:01:14 補充：
1.2其實由公式理解，積分算出來必有一個值，再除以質量也仍只會有一個值
希望有回答道你
2015-07-22 21:28:45 補充：
g(i)如果為均勻重力場的話，用g表示即可
g(i)、r(i)會因為位置不同而改變
再來符號的部分，如果是非連續為體比如許多點就須使用和符號
但連續物體就使用積分來思考，那至於怎麼積就，這好像就需又用向量分析來解決，這就會變成大工程
積分向量並應該沒有這麼簡單的這樣子，T(m, g, r)=R x G(m, g)
我也不知怎麼算
我當初的想法是先把物體切成很多薄片，再把每片薄片切成細絲
那細絲的重心R=∫(x(i)m(i))/M 將只有一解，把細絲[拼回薄片，用重心質量分布算出重心也將會有一解，薄片拼回體積也是同樣道理
2015-07-22 21:35:08 補充：
那自於非均勻重力場，並且直接由3維思考的證明，你得另找高人了，我也還在想
其實這部分，我以前也沒想過，所以之前到現在都不是很嚴謹，或許真的有數學方法可以一針見血就確定重心的唯一性，值得深入思考
那個積分向量應該要用面積分或線積分解決
資料來源： 自己 - ?Lv 66 年前
謝謝 錦遲 知識友精闢的分析
以上，我了解到任意自訂的重力場中不一定存在重心：
但是我還想要提出兩個問題，還請您不吝指點：
問題一：
如果我找出所有可能的重力場：
它對於重力場源滿足萬有引力定律
且不考慮場的時間延遲效應
其中是否存在至少一個例子
"能使位在場中的物體運動平衡但轉動不平衡"的例子出現？
(雖然說我認為您上面舉的反例直觀上非常合理
但是為了確定它的嚴謹性，也就是為了確定
這個"自訂的重力場"是否存在，才提出這個問題)
問題二：
若問題一答案為真，意即：
不一定任意重力場都存在重心
那麼要滿足何種條件，才有可能確定重心的存在？
- 6 年前
我數學能力不太好，所以只能在這邊寫個想法
在一個自訂(可能不存在)的重力場中放入一物體，重力使物體運動平衡但轉動不平衡，此時∑(F→)=0而系統力矩的總和≒0，那(OG→) × ∑(F→)將不等於該系統力矩的總和，定義在問題1已經出現反例。
2015-07-21 22:23:03 補充：
物理問題可以到這個網站試試
http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/
2015-07-25 23:20:51 補充：
回覆
問題一：
設兩個等大小的質點在空間相異兩處做重力場來源
將一棒狀物質心至於兩質點中間(運動平衡)，並且斜放使兩端各偏向一質點，因為較接近某一質點，因此會向該質點移動，造成物體轉動。
(敘述沒很嚴謹，不過應該能表達了)
問題二：
我聽過有的數學式會有當某數值為０時不成立的狀況，回答部分好像有人用數學作證明你的假設是成立的，可以檢查看看證明過程是不是有這種狀況，有關數學的部分我就幫不上忙了
2015-07-25 23:25:06 補充：
更正:
第一個意見的"而系統力矩的總和≒0"改成"而系統力矩的總和≠0"
2015-07-26 06:52:41 補充：
我剛看到 物體總重量的著力點稱為物體重心 的定義
將物體上各點的座標和所受重力加總後除以總所受重力來求重心位置
因為總所受重力是分母所以不能為0
