3 identical particle in a well

Question

Consider a system of three non-interacting identical spin 1/2 particles that are in the same spin up state and confined to moved in a one-dimensional infinite potential well of length a : V(x)=0 for 0<x<a and V(x)=infinite for other value of x.
Determine the energy and wave function of the ground state, the first excited state, and the second excited state.

sponge · Accepted Answer

一維的位能井中單一粒子質量 m, 能量與波函數各為

E_n = n^2 * h^2/8ma^2, ψ_n(x) = A sin(nπx/a), 常數 A 絕對值為√(2/a)

若二個以上粒子且「無交互作用」，系統能量僅為各自能量總和

E_n1,n2,n3 = (n1^2 + n2^2 + n3^2) h^2/8ma^2

其中 n1,n2,n3 表示三個粒子的系統的狀態

粒子為自旋 1/2 且都 spin up, 暗示每個 n 值只能被一個粒子佔據

(如果沒規定都 spin up, 也許相同 n 值但 up and down 就不會違反包立不相容原理)

對費米子來說，波函數就是以下 3×3 矩陣的行列式值：

ψ_n1(x1)　ψ_n1(x2)　ψ_n1(x3)
ψ_n2(x1)　ψ_n2(x2)　ψ_n2(x3)
ψ_n3(x1)　ψ_n3(x2)　ψ_n3(x3)

若 n1 n2 n3 任二個相等都使其行列式值為 0, 導致波函數不合理

ground state: n1 n2 n3 分別為 1 2 3

能量為 14h^2/8ma^2 (為了可讀性而不約分)

first excited state: n1 n2 n3 分別為 1 2 4

能量為 21h^2/8ma^2

second excited state: n1 n2 n3 分別為 1 3 4

(因為 1^2 + 3^2 + 4^2 小於 1^2 + 2^2 + 5^2 故選之)

能量為 26h^2/8ma^2

波函數部分將上面矩陣的 n1 n2 n3 代入即可

希望如上回答對您有幫助！

2015-01-31 13:13:01 補充：
抱歉行列式要除以√6 才是有歸一化的，因為共有六項

哲 · Answer

CHW大大你好
因為電子是費米子所以不能都是在n=1的基態上喔

CHW · Answer

一維的位能井

E = (n^2*h^2)/(8mL^2)

我把n^2的位置換一下

E= [ h^2/(8mL^2) ]*[ n^2 ]

如果有three particle

E= [ h^2/(8mL^2) ]*[ (n1)^2+(n2)^2+(n3)^2 ]

推導怎麼來的忘了

基態的話，我想 n1 ~ n3 都是1

或著要考慮包立不相容原理

不能三個都n=1

提供一下想法，我也滿想知道這題答案 ...

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