圓錐轉動貫量證明 (20點)

一個底面直徑R 高度H,轉軸垂直底面並今過質心,如何證明是3(MR^2)/10Ans:q=密度z=h*x/r => dz=h*dx*r維基百科薄圓板: I=m*r^2/2 => dI=r^2*dm/2dI=x^2*dm/2=x^2*(q*pi*x^2*dz)/2=q*pi*x^4*(h*dx/2r)Iz=∫(q*r*h*pi/2r)*x^4*dx=(q*r*h*pi/2r)*x^5/5.....x=0~r=(q*r*h*pi/2r)*r^5/5=(q*r*h*pi*r^4)/10=(q*pi*r^2*h/3)*(3/q*pi*r^2*h)*(q*r*h*pi*r^4)/10=3m*r^2/10

2014-01-24 07:20:47 補充：

(2) 求Ix=Iy=?

平移轉動慣量公式:

2D => I=Ic+A*z^2

3D => I=Ic+m*z^2

z=平移距離, A=面積

薄圓盤轉動慣量: Ic=Iz/2=3m*r^2/20

平移效應轉動慣量:

2014-01-24 07:21:49 補充：

Ie=∫z^2*dm

=∫∫z^2*(2pi*q*x*dx*dz)

=2pi*q∫∫(z^2*dz)*(x*dx)

=2pi*q∫(z^3/3)*x*dx.....z=hx/r~h

=(2pi*q/3)∫(h^3-h^3*x^3/r^3)xdx

=(2pi*q*h^3/3r^3)∫(r^3-x^3)xdx

=(2pi*q*h^3/3r^3)*(∫x*r^3*dx-∫x^4*dx)

=(2pi*q*h^3/3r^3)*(r^3*x^2/2-x^5/5).....x=0~r

=(2pi*q*h^3/3r^3)*(r^5/2-r^5/5)

2014-01-24 07:22:12 補充：

=(2pi*q*h^3/3)*(3r^2)/10

=pi*q*r^2*h/5

=(pi*q*r^2*h)/3*(3h^2/5)

=3m*h^2/5

=> Ix=Iy

=Ic+Ie

=3m*r^2/20+3m*h^2/5

=(3m/5)*(r^2/4+h^2)

=維基公式